黎曼流形中的常平均曲率超曲面

发布时间：2017-05-18 13:21

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【摘要】：本文中,我们研究黎曼流形中的常平均曲率超曲面.全文由两个部分组成. 在第一部分中,我们考虑2维可定向黎曼流形(M,g)中的常测地曲率曲线.我们证明,若有一列常测地曲率曲线Γi,i∈N,其测地曲率ki趋于正无穷,且他们在Hausdo ff度量的意义下收敛到M上一点p,则点p是高斯曲率的临界点.进一步,给定初始点p初始速度v∈TpM,我们研究了以速度v过p点的测地曲率为k》0的浸入常测地曲率曲线γ(p,v,k)的行为.我们证明了,当k趋于无穷时,γ(p,v,k)在Hausdor ff度量的意义下收敛到通过p点的高斯曲率的等值线.另外,当k很大时,我们研究了拓扑度为d的有常测地曲率k的浸入闭曲线的存在性. 本文的第二部分主要是用粘贴方法来构造常平均曲率超曲面.设n≥2,给定一个(n+1)维黎曼流形(M,g)和一个可定向的非退化极小超曲面∑(?) M,我们考虑∑的两个扰动∑ε和∑-。在某些合适的点处的连通和.通过这个方式我们可以构造平均曲率很小的常平均曲率超曲面.实际上我们可以构造一族常平均曲率超曲面,当其常平均曲率趋于0时,他们在测度意义下收敛到2∑.
【关键词】：常平均曲率 粘合
【学位授予单位】：中国科学技术大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O186.12
【目录】：

• 摘要5-6
• ABSTRACT6-9
• Chapter 1内容简介9-17
• 1.1 研究背景9-11
• 1.2 本文中的主要结果11-17
• Chapter 2 Constant geodesic curvature curves on surfaces17-39
• 2.1 The geodesic curvature17-21
• 2.2 Constant geodesic curvature curves21-26
• 2.3 Limit of constant geodesic curvature curves26-30
• 2.4 Constant geodesic curvature d-circles30-33
• 2.5 Appendix:The proof of Lemma 2.2.133-39
• Chapter 3 Doubling construction for CMC hypersurfaces39-67
• 3.1 Examples and comments39-41
• 3.2 The mean curvature41-44
• 3.3 Expansion of the metric in Fermi coordinates44-48
• 3.4 Green's function for J_(?) with pole at p∈(?)48-51
• 3.5 The n-dimensional catenoid51-54
• 3.6 Construction of the approximate solution54-56
• 3.7 Analysis of the Jacobi operator about (?)_(ε,p)~b56-61
• 3.7.1 An apriori estimate56-61
• 3.8 The nonlinear argument61-63
• 3.9 Appendix63-67
• Bibliography67-69
• 致谢69-71
• Acknowledgements71-73
• 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果73-75
• Publications75

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本文编号：376199