半群的全局指数κ-耗散性及全空间上非均匀的反应扩散方程的全局吸引子问题

发布时间：2017-08-24 11:21

  本文关键词：半群的全局指数κ-耗散性及全空间上非均匀的反应扩散方程的全局吸引子问题

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【摘要】：在这篇博士学位论文中,我们主要考虑无穷维耗散动力系统的解的长时间行为.本文主要分为两个部分,第一部分(第三章)我们利用非紧性测度κ,首次给出了完备的度量空间中连续半群{S(t)}t≥0的全局指数κ-耗散性的概念,并且证明了若连续半群{S(t))t≥0具有有界吸收集,而且是全局指数κ-耗散的,则一定存在一个正不变的紧子集A*,使得A*指数吸引任意有界集,见定理3.2.进一步,若半群{S(t)}t≥0满足一定的连续性假设,并且全局吸引子是有限维的,则A*的Hausdorff维数也是有限维的,见定理3.6.然后为了应用上的方便,我们给出了几个重要的全局指数κ-耗散的判定方法,见定理3.8,定理3.9,定理3.12,定理3.13和定理3.14.在这一章的最后,我们应用这些判定方法,证明了一类反应扩散方程和一类带弱阻尼的波方程是全局指数κ-耗散的,见定理3.17和定理3.20.在本文的第二部分中,考虑了几类全空间Rn上非均匀的反应扩散方程的全局吸引子问题.在第四章中,主要讨论一类带广义导数项的非均匀反应扩散方程,并且非线性项不满足结构性条件,我们运用ω-极限紧的方法以及截断函数的技巧,证明了其全局吸引子在空间L2(Rn)中的存在性,见定理4.7.在第五章中,我们讨论两类非均匀的实Ginzburg-Landau方程,其中第一类方程的特点是主部算子非正定,第二类方程的特点是主部算子在零点附近强不定,非线性项是强制的.由于第一类方程的主部算子非正定,因而不能由Gronwall不等式得到L2(Rn)中的有界吸收集.为了克服这个困难,我们利用能量泛函的单调性,并结合变分原理的思想,得到了Lp(Rn)中的有界吸收集,然后用截断函数的技巧,并再次结合能量泛函的单调性证明了方程的解在外区域上一致小,从而得到解的半群的ω-极限紧性,最终证明了空间Lp(Rn)中全局吸引子的存在性,见定理5.5.在第二类方程中,由Gronwall不等式可以得到方程的解在某个正则性较高的带权空间中存在有界吸收集,再由紧嵌入定理可得L2(Rn)中的全局吸引子的存在性,见定理5.12.进一步,运用Z2-指标理论证明该全局吸引子的分形维数是无穷维的,见推论5.14.
【关键词】：全局指数κ-耗散 全局吸引子 反应扩散方程 无界区域
【学位授予单位】：南京大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O19;O152.7
【目录】：

• 摘要4-6
• 英文摘要6-10
• 第一章 综述10-22
• 1.1 连续半群及其全局吸引子11-15
• 1.2 惯性流形以及指数吸引子15-18
• 1.3 本文的工作18-22
• 第二章 预备知识22-28
• 2.1 常用不等式22-23
• 2.2 非紧性测度23-24
• 2.3 分形维数与Hausdorff维数24-25
• 2.4 Z_2-指标理论25-28
• 第三章 半群的全局指数κ-耗散性28-44
• 3.1 全局指数κ-耗散的半群28-34
• 3.2 全局指数κ-耗散性的判别方法34-38
• 3.3 偏微分方程中的应用38-44
• 3.3.1 反应扩散方程38-41
• 3.3.2 带弱阻尼项的波方程41-44
• 第四章 一类带广义导数项的非均匀反应扩散方程的全局吸引子44-56
• 4.1 反应扩散方程的全局吸引子问题的研究进展44-46
• 4.2 L~2(R~n)空间中的有界吸收集46-47
• 4.3 半群S(t)的ω-极限紧性47-56
• 4.3.1 内区域的估计48-53
• 4.3.2 外区域的估计53-56
• 第五章 非均匀的实Ginzburg-Landau方程56-78
• 5.1 一类线性项为非均匀的情形56-65
• 5.1.1 D~(1,2)(R~n)∩L~p(R~n)和L~(2p-2)(R~n)中的有界吸收集57-61
• 5.1.2 ω-极限紧性及全局吸引子61-65
• 5.2 一类非线性项非均匀的情形65-78
• 5.2.1 解的存在唯一性66-71
• 5.2.2 全局吸引子存在性71-75
• 5.2.3 无穷维的全局吸引子75-78
• 展望78-80
• 参考文献80-88
• 攻读博士学位期间完成的学术成果88-90
• 致谢90-91

【参考文献】

中国期刊全文数据库 前2条

1 ;ON THE EXISTENCE OF GLOBAL ATTRACTOR FOR A CLASS OF INFINITE DIMENSIONAL DISSIPATIVE NONLINEAR DYNAMICAL SYSTEMS[J];Chinese Annals of Mathematics;2005年03期

2 戴正德,郭柏灵;GLOBAL ATTRACTOR OF NONLINEAR STRAIN WAVES IN ELASTIC WAVEGUIDES[J];Acta Mathematica Scientia;2000年03期

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本文编号：731035