Nakayama代数的分解箭图与奇点范畴

发布时间：2017-09-15 03:39

  本文关键词：Nakayama代数的分解箭图与奇点范畴

  更多相关文章： Nakayama代数 分解箭图 Gorenstein代数 奇点范畴 三角对偶 Gorenstein投射模 完备路

【摘要】：本博士论文研究Nakayama代数的同调性质。具体来说,我们研究了Nakayama代数的分解箭图、Nakayama代数的奇点范畴、Nakayama代数的Gorenstein同调性质以及Nakayama代数上的Gorenstein投射模等相关内容。 论文的具体安排如下： 在第一章中,我们回顾了三角范畴、奇点范畴以及Gorenstein同调代数的历史起源和发展现况。然后,我们介绍了论文的主要结果与结构。 在第二章中,我们介绍了三角范畴、环的奇点范畴以及Gorenstein投射模的基本定义和已知结果。特别地,我们利用Keller-Vossieck引理重新给出了Buchweitz定理的证明。然后,我们介绍了后面章节将要用到的一些工具。 在第三章中,我们讨论了Nakayama代数的分解箭图。首先,我们回顾了Nakayama代数分解箭图的定义和基本性质。然后,我们证明了分解箭图的一个基本性质,即：连通Nakayama代数的分解箭图中每个圈的大小都相等。利用该性质,我们得到了整体维数无限的连通Nakayama代数上内射维数无限的单模个数与投射维数无限的单模个数相等。我们对分解箭图中的圈引入了权重的概念,并且证明了连通Nakayama代数的分解箭图中每个圈的权重也都相等。最后,我们利用分解箭图研究了Nakayama代数的Gorenstein同调性质,给出了若干使Nakayama代数成为Gorenstein代数的充分必要条件。 在第四章中,我们研究了Nakayama代数的奇点范畴。首先,对于任意给定的Nakayama代数,我们利用分解箭图构造了其模范畴的某个Frobenius子范畴。我们证明了这个Frobenius子范畴为Abel范畴,并且与某个自内射Nakayama代数的有限生成模范畴等价。然后,我们得到了本章的主要结果,即：上述Frobenius子范畴的稳定范畴与给定Nakayama代数的奇点范畴三角等价。这给出了Nakayama代数奇点范畴的新描述。利用这个Frobenius子范畴,我们证明了任意Nakayama代数的奇点范畴与其反代数的奇点范畴之间存在三角对偶。我们举例说明了,一般来说,代数的奇点范畴与其反代数的奇点范畴之间不一定存在三角对偶。最后,利用这个三角对偶和Auslander-Reiten箭图的相关内容,我们得到了任意Nakayama代数的分解箭图与其反代数的分解箭图中每个圈的大小和权重均分别相等,并且它们中圈的个数也相等。 在第五章中,我们考察了域上Nakayama代数的Gorenstein投射模。首先,我们引入了完备路的概念,并且用它来描述域上Nakayama代数的Gorenstein投射模。然后,我们证明了域上Nakayama代数的非投射不可分解Gorenstein投射模与该代数的完备路之间存在一一对应。利用分解箭图,我们得到了完备路一个等价描述。最后,利用上述一一对应和等价描述,我们重新得到了C.M. Ringel对于Nakayama代数上Gorenstein投射模的刻画结果。
【关键词】：Nakayama代数 分解箭图 Gorenstein代数 奇点范畴 三角对偶 Gorenstein投射模 完备路
【学位授予单位】：中国科学技术大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O154.1
【目录】：

• 摘要5-7
• ABSTRACT7-9
• 常用记号9-11
• 目录11-13
• 第一章 绪论13-19
• 1.1 研究背景13-15
• 1.2 主要结果15-17
• 1.3 论文结构17-19
• 第二章 基础知识19-43
• 2.1 三角范畴19-29
• 2.1.1 定义与基本性质19-22
• 2.1.2 Verdier商范畴22-25
• 2.1.3 Frobenius范畴25-27
• 2.1.4 同伦范畴与导出范畴27-29
• 2.2 奇点范畴29-31
• 2.2.1 定义29-30
• 2.2.2 基本性质30-31
• 2.3 Gorenstein投射模31-34
• 2.3.1 定义与基本性质31-33
• 2.3.2 Gorenstein环33
• 2.3.3 Buchweitz定理33-34
• 2.4 Artin代数34-41
• 2.4.1 路代数34-36
• 2.4.2 Auslander-Reiten理论36-38
• 2.4.3 Nakayama代数38-41
• 2.5 左收缩41-43
• 2.5.1 定义与基本性质41
• 2.5.2 Nakayama代数41-43
• 第三章 Nakayama代数的分解箭图43-55
• 3.1 定义与基本性质43-44
• 3.2 分解箭图中的圈44-47
• 3.3 应用47-49
• 3.4 Gorenstein同调性质49-55
• 第四章 Nakayama代数的奇点范畴55-71
• 4.1 简单化与有限Abel范畴55-56
• 4.2 Frobenius子范畴56-60
• 4.3 奇点范畴60-63
• 4.4 与Gorenstein核的比较63-65
• 4.5 奇点范畴的对偶65-67
• 4.6 分解箭图与Auslander-Reiten箭图67-71
• 第五章 Nakayama代数上的Gorenstein投射模与完备路71-81
• 5.1 右极小路71-73
• 5.2 完备路73-74
• 5.3 一一对应74-77
• 5.4 Gorenstein投射模77-81
• 参考文献81-87
• 致谢87-89
• 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果89

【共引文献】

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本文编号：854137