Armendariz环及其扩张

发布时间：2017-09-18 04:13

  本文关键词：Armendariz环及其扩张

  更多相关文章： Armendariz环 相对Armendriz环 单项式理想 半交换环 对称商环

【摘要】：Armendariz环的概念是由Rege和Chhawchharia于1997年提出来的.设R为环,任取f,g ∈ R[x],其中若FG=0蕴含aiBJ=0,(?)0≤i≤n,0 ≤J≤m,则环R称为Armendariz环.之所以采用Armendariz环这个术语,是因为Armendariz于1974年证明了：约化环是Armendariz环Rege和Chhawchharia给出了很多Armendariz环和非Armendariz环的例子,同时给出了与Armendariz环相关的一些环的定义,开启了Armendariz环的研究的先河.1998年Anderson和Camillo进一步研究了Armendariz环的性质,给出了Armendariz环的许多深刻的结果.随着Armendariz环的深入研究,越来越多的数学工作者开始研究Armendariz环的推广并引入了许多与Armendariz环相关的概念.Lee和Wong于2003年引入弱Armendariz环,刘仲奎等在2006年定义了另一种弱Armendariz环,Huh在2007年引入了π-Armendariz环,Antoine在2008年定义了诣零Armendariz环.这些环都是Armendariz环的推广.对于Armendariz环,Anderson和Camillo在1998年证明了R是Armendariz环当且仅当R[x]是Armendariz环,并证明了R[x]/(xn)(n≥2)是Armendariz环当且仅当R是约化环.对于Lee和Wong定义的弱Armendariz环可以得到同样的结论.基于对上述环的讨论,我们引入了一种新的相关Armendariz环,我们定义了相对Armendariz环.设B是R的子环,我们定义：若对任意使得f(x)g(x)=0,总有aibj ∈ B,0≤ i≤m,0≤ j≤n,则称R为关于子环的相对Armendariz环,简称为B-Armendariz环.显然Armendariz环和中心Armendariz环都是关于子环的相对Armendariz环.同时我们引入了最小子环ρ,我们以ρ为工具研究环的Armendariz'性质.使得B-Armendariz环的一些性质用p来陈述得到更简洁的做法.对于B-Armendariz环我们主要证明了：定理2.1.2.R是B-Armendariz环当且仅当R[x]是B [x]-Armendariz环.上面这个定理分别推广了Anderson和Camillo以及Agayev等人的己知结果.对于最小子环ρ,我们证明了下面结论：定理2.2.1.ρ是R的理想.定理2.2.3.设I是R的理想使得R/I和I都是Armendariz环.如果R或I是半素环,则R是Armendariz环.定理2.2.6.p(R[x])= p(R)[x].定理2.2.7.对于正整数n1,视R为R[x]/(xn)子环,则R[x]/(xn)相对于R是Armendariz环当且仅当R是约化环.设R是环,M是左R-右R-双模.令T(R,M)表示如下形式的上三角矩阵按照通常方法定义的矩阵加法和乘法所构成的环：T(R,M)称为R通过M的平凡扩张.关于平凡扩张我们得到下面结论：定理2.2.8.p(T(R, M))＝T(ρ(R),N),其中N是生成的M的R-R子双模,Cf表示f(x)的系数构成的集合.定理2.2.9.设R,S都是有1环,M是左R右S双模则Anderson和Camillo在1998年指出对于半素的左右Noetherian环R,则R是Armendariz环当且仅当Q(R)是约化环.从而Kim和Lee进一步得到推论若R是vonNeumann正则环[19]且假设存在R的古典右商环Q(R),则下面等价：R是Armendariz环当且仅当R是约化环当且仅当Q(R)是Armendariz环当且仅当Q(R)是约化环.本文在半素环的条件下研究了R和R的商环的Armendariz性之间的关系.本文主要得到了下面结论：定理3.2.1.设R是半素环,则R是Armendariz环当且仅当Qs是Armendariz环.定理3.2.2.设R是有1半素右Goldie环,Qr表示R的Martindala右商环,Qm,表示R的极大右商环.则下列等价(1)R是Armendariz环;(2)Qr是Armendariz环;(3)Qmr是Arnlendariz环.我们还研究了素Armendariz环与零化子,我们得到下面结论：定理3.3.1.对于素环R,下列条件等价.(1)R是(1,1)-Armendariz环;(2)对于任意正整数n,R是(1,n)-Armendariz环:(3)对于任意正整数n,R是(n,1)-Armendariz环:(4)R的元素的左零化子之集是一个线性序集;(5)R的元素的右零化子之集是一个线性序集;(6){r(a)|a∈R)∪{l(a)|a∈R)是线性序集.并且我们利用零化子给出了环R是(2,2)-Armendariz环和(2,3)-Armendariz环的两个条件.本文还研究了交换环上的Armendariz.性质.得到以下结论：定理4.1.1.若G(I)={xi0y(n-i0),xi1y(n-i1),…,xisy(n-is)),i0i1…is,则R/I是Armendariz环当且仅当it=i0+t,1≤t≤s.这里G(I)={u1,…,up)表示I的唯一的由系数为1的单项式构成的极小生成集.我们还给出0维Armendariz局部环的一些性质.定理4.2.1.设R是交换的Artin局部环,如果R是Armendariz环,则对于任意理想C均有dimlC(0:Cm)≥diml(0:Cm)/(0:C).Armendariz环的商环未必是Armendariz环,因此商环的Armendariz性质便成为大家关注的一个问题.我们考虑了整环和GCD环关于主理想的商环,其中GCD环定义如下：设R是整环,如果R中的任意两个元素都有最大公因式,则称R为GCD环.本文证明了下面结论：定理4.3.2.若R是GCD环,F是R上的本原多项式,则R[x]/(f)是Armendariz环.环R称为半交换环,如果ab=0蕴含aRb= 0, (?) a, b ∈ R交换环和Armendariz环介于约化环和Abel环中间,但是二者没有必然联系.本文在第五章则给出了一个既是Armendariz环又是半交换环的例子.记为环R上3阶矩阵环M3(R)的一个子环我们证明了如下定理：定理5.2.1.设R是约化环,a,β,γ是环R的相容自同态,那么S3(R)是半交换环.定理5.2.2.如果R是约化环,α,β是R的相容自同态,那么S3(R)是Armendariz环.
【关键词】：Armendariz环 相对Armendriz环 单项式理想 半交换环 对称商环
【学位授予单位】：吉林大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O153.3
【目录】：

• 摘要4-8
• Abstract8-13
• 符号约定13-14
• 第1章 绪论14-26
• 1.1 背景14-17
• 1.2 综述17-21
• 1.3 本文的主要结果21-26
• 第2章 相对Armendariz性质26-40
• 2.1 关于子环的相对Armendariz环26-31
• 2.2 相对Armendariz想31-40
• 第3章 半素的Armendariz环40-54
• 3.1 半素环的扩张理论40-42
• 3.2 半素Armendariz环的对称商环42-44
• 3.3 素Armendariz环与零化子44-54
• 第4章 交换的Armendariz环54-66
• 4.1 单项式理想的商环的Armendariz性质54-59
• 4.2 Armendariz局部环59-63
• 4.3 整环关于主理想的商环的Armendariz性质63-66
• 第5章 一类特殊的Armendariz环66-74
• 5.1 引言66-67
• 5.2 主要结论67-74
• 参考文献74-80
• 作者简介及在学期间所取得的科研成果80-82
• 致谢82

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本文编号：873315