随机有限元方程的解法与误差及随机介质的形态描述研究

发布时间：2017-10-09 04:09

  本文关键词：随机有限元方程的解法与误差及随机介质的形态描述研究

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【摘要】：随机有限元法(SFEM)是不确定性定量化的一种重要工具,目前主要研究内容包括随机介质建模和方程求解两部分。随机介质建模方面,形态函数(线性路径函数和两点簇函数)的引入可以显著改善重构样本的精度,但是形态函数对微结构的区分程度尚缺乏理论依据。SFEM方程解法方面,目前还缺少计算效率高、兼具收敛判据和误差估计的解法。本文针对SFEM中的这两大问题,意图发展出高效、准确的解法,建立形态函数的理论表达式。论文的主要工作包括:一、提出了一种基于Neumann展开的精度可控、高效的SFEM方程解法——广义Neumann展开(GNE)法。GNE解法的计算效率高、与摄动法相当,具备充要的后验收敛判据、充分非必要的先验收敛判据,以及后验误差估计。得到了高斯随机变量情况下前三阶解答的期望与协方差的直接计算式,分析了GNE解法的计算量与存储量,给出了当前可能求解的问题规模。研究表明,对于确定性载荷线性SFEM方程,GNE、摄动法和Neumann展开法三者在数学上等价;对于一般的SFEM方程,GNE与Neumann展开等价,两者与摄动法不等价。GNE法兼具摄动法和Neumann展开法的优点,在很大程度上克服了两者的缺点。二、建立了SFEM方程摄动类解法(GNE、Neumann展开、摄动法)的先验误差估计体系。定义了一种新的相容的向量范数和矩阵范数,提出了关于矩阵之和以及随机矩阵的特征值的两个数学定理与五个数学推论,提出了随机迭代矩阵谱半径定理和随机刚度矩阵谱半径定理,进而建立了五个先验误差估计式,解决了弹性模量为随机场时SFEM方程摄动类解法的先验误差估计问题。误差估计式可先验地估计各阶展开的解向量、解向量期望与协方差的误差上限,也可以根据精度需求判断所需的展开阶数。研究表明,非均匀材料均匀化引起的解向量的相对误差不大于弹性模量的最大扰动幅值;三阶展开对于变化幅度达50%的弹性模量随机场,解向量的相对误差不超过6.25%。三、给出了凸形颗粒形态函数的一般计算方法,得到了正三角形、正四边形、正六边形、圆形、球形颗粒的不同尺寸分布、不同取向分布时的线性路径函数和两点簇函数的理论表达式,为随机介质的微结构重构提供了理论参考。提出了一种针对周期性材料样本的线性路径函数的数值提取算法,可以同时无偏、高效地提取颗粒和母材在任意方向上的线性路径函数。
【关键词】：有限元 随机有限元 广义Neumann展开法 先验误差估计 形态函数
【学位授予单位】：清华大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O241.82
【目录】：

• 摘要3-4
• Abstract4-9
• 主要符号对照表9-10
• 第1章 绪论10-22
• 1.1 研究背景及意义10-11
• 1.2 随机有限元法（SFEM）简介11-12
• 1.3 随机介质建模研究现状12-18
• 1.3.1 高斯场建模方法12-14
• 1.3.2 非高斯场建模方法14-16
• 1.3.3 重要概率分布函数16-18
• 1.4 随机有限元方程解法研究现状18-20
• 1.5 本文主要内容20-22
• 第2章 随机场的基本理论22-30
• 2.1 概率论22-23
• 2.1.1 随机收敛22
• 2.1.2 极限定理22-23
• 2.2 随机场23-30
• 2.2.1 二阶随机场23-24
• 2.2.2 平稳随机场24-25
• 2.2.3 高斯随机场25
• 2.2.4 Mercer定理25-26
• 2.2.5 Fourier-Karhunen-Lo`eve（FKL）展开26-30
• 第3章 随机有限元方程的广义Neumann展开解法30-63
• 3.1 引言30-31
• 3.2 广义Neumann展开法31-43
• 3.2.1 基本形式31-33
• 3.2.2 收敛判据与误差分析33-35
• 3.2.3 摄动类解法的对比35-38
• 3.2.4 解向量的期望与协方差38-43
• 3.3 数值算例43-52
• 3.3.1 问题描述44
• 3.3.2 解向量相对误差的影响因素44-52
• 3.4 计算效率分析52-61
• 3.4.1 算例分析52-57
• 3.4.2 理论分析57-61
• 3.5 本章小结61-63
• 第4章 随机有限元方程摄动类解法的误差估计63-91
• 4.1 引言63-64
• 4.2 向量范数与矩阵范数64-66
• 4.3 数学定理与推论66-71
• 4.3.1 基本定理66-67
• 4.3.2 定理与推论67-71
• 4.4 随机矩阵谱半径定理71-77
• 4.4.1 随机迭代矩阵谱半径定理72-76
• 4.4.2 随机刚度矩阵谱半径定理76-77
• 4.5 先验误差估计77-82
• 4.5.1 先验误差估计式77-78
• 4.5.2 误差估计式的证明78-81
• 4.5.3 误差估计式的应用81-82
• 4.6 数值算例82-89
• 4.6.1 杆的单向拉伸82-84
• 4.6.2 桁架结构84-85
• 4.6.3 平面应力问题85-87
• 4.6.4 三维悬臂梁87-89
• 4.7 本章小结89-91
• 第5章 随机介质形态描述关键函数的理论表达式与数值提取算法91-116
• 5.1 引言91-92
• 5.2 颗粒线性路径函数与两点簇函数的理论表达式92-105
• 5.2.1 计算原理92-95
• 5.2.2 颗粒的线性路径函数与两点簇函数95-105
• 5.3 周期边界样本线性路径函数的数值提取算法105-108
• 5.3.1 水平方向的提取算法105-107
• 5.3.2 一般方向的提取算法107-108
• 5.4 理论表达式与提取算法的验证108-111
• 5.4.1 数值提取算法108-110
• 5.4.2 解析表达式110-111
• 5.5 理论表达式的应用111-114
• 5.6 本章小结114-116
• 第6章 总结与展望116-119
• 6.1 总结116-118
• 6.2 展望118-119
• 参考文献119-128
• 致谢128-130
• 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果130-131

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