第三节 几何学

发布时间：2017-05-19 01:08

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 第三节 几何学

 

第三节 几何学

一、解析几何

　　直到18世纪，才真正全面引进和建立我们今天所熟悉的各种坐标系．

　　在牛顿以前，人们一般只使用一根坐标轴(x轴)，而且只用正方向，他第一个使用两根坐标轴以及负x、负y值，并且在所有四个象限作图，从而最终形成了今天的平面直角坐标系．

　　1715年，约翰·贝努利引进了今天通用的三个坐标平面．随后，他又和克莱罗等人弄清了曲面能用三个坐标变量的一个方程表示出来这个观念．1731年克莱罗研究了三维坐标几何的若干问题．赫尔曼(J．Hermarm，1678—1733)也是18世纪几何大家之一，1732年他曾指出方程x2＋y2＝f(z)是绕z轴的一个旋转曲面，随后，欧拉系统地进行过三维坐标几何工作．欧拉、拉格朗日和蒙日对18世纪的解析几何做出了巨大的贡献．

　　早在17世纪，牛顿和詹姆士·贝努利就曾引进了极坐标，1729年赫尔曼正式宣布极坐标是普遍可用的，自由地用极坐标去研究各种曲线，他的贡献之一是绘出了从直角坐标到极坐标的变换：x＝zn，y=zm．而欧拉则给出了今天的形式：x=zcosθ，y＝zsinθ(此处z相当于极径r)．至欧拉为止，极坐标已正式形成了．

　　1748年，欧拉引进了曲线的参数表示：x＝(t)，y=(t)．

　　坐标变换在18世纪也为数学家开始广泛使用了．1748年，欧

拉为了使一般的三个变量的二次方程

ax2＋by2＋cz2＋dxy＋exz＋fyz＋gx+hy+kz=l

　　所表示的二次曲面的对称轴正好是坐标轴，引进了从xyz坐标系到x′y′z′坐标系的变换：

　　

　　通过这种变换，欧拉发现了双曲抛物面，并且从标准形中对六种曲面(锥面、柱面、椭球面、单叶和双叶双曲面、双曲抛物面、抛物柱面)进行了统一处理．

　　欧拉和拉格朗日分别在1770年和1773年给出了齐次线性正交变换

　　

　　　

　　(λ，μ，γ)与(λ′，μ′，γ′)、(λ″，μ″，γ″)为方向余弦．我们在前面还提到，拉普拉斯等引进了球面变换．在理论上尤其值得重视的是，欧拉指出曲线的次数是线性变换下的不变量．

　　18世纪，数学家们在高次平面曲线的研究方面有重大进展．牛顿第一个对高次平面曲线进行了广泛的研究．1704年，他出版了《三次曲线例举》(Enumeratio Linearum Tertii Ordi-nis)，这是其著作《光学》(Opticks)一书英文版的附录．他识别了72种三次曲线，并证明了能够把一般的三次方程

ax3+bx2y＋cxy2+dy3+ex2+fxy＋gy2+hx+jy+k=0

　　所代表的一切曲线通过坐标轴的变换化为下列形式之一：

　　(a) xy2＋ey＝ax3＋bx2＋cx+d，

　　(b) xy=ax3＋bx2＋cx＋d，

　　(c)y2＝ax3＋bx2＋cx＋d，

　　(d) y＝ax3＋bx2＋cx＋d．

　　而且将第三类曲线(C)称为发散抛物线，此外还给出了许多关于高次曲线性质的结论．

　　法国数学家克莱罗(A．C．Clairaut，1713—1765)是18世纪几何学发展的关键人物之一．他成才很早，是早熟的典型代表，12岁时就写了一部非常出色的关于曲线的著作．1729年16岁时完成了《关于双重曲率曲线的研究》(Recherche Sur lesCourbes à double Courbure)一书，于1731年发表，在曲面和空间曲线方面颇有建树．由于在几何学方面的成就，他未满18岁即成为法国科学院院士，后又于1737年被选为英国皇家学会会员．1736年，他参加了以测量子午线为目的的勘察工作，1743年，出版了关于地球形状的经典著作《地球形状理论》(Théoriede la figure de la terre)，提出了“克莱罗大地测量基本定律”，即确定地球表面重力分布与地形、旋转角速参数之间关系的定律．1752，出版《月球的理论》(Théorie de la Lune)一书，对月球运动、哈雷彗星的运动、太阳的摄动进行了广泛深入的研究，该书获得彼得堡科学院奖金．他与欧拉一同被公认为是运动动力学的创始人．他是牛顿巨著《自然哲学的数学原理》的法文译者，为此他付出了艰辛的劳动．

　　克莱罗在微分方程、高次平面曲线，特别是微分几何方面颇有建树．他对曲线的拐点、曲线的分支等问题进行了讨论，还证明了射影定理．

　　总的来说，在高次曲线的研究方面，18世纪还很不完善，在这方面系统完整的理论直到19世纪才建立起来．

二、微分几何

　　虽然从微积分开始创立时，微分几何的研究就开始了，但作为一门完整的学科，微分几何却是直到18世纪才独立出来．“微分几何”一词则迟至1894年才第一次为人所使用．

　　由于惠更斯、牛顿、莱布尼茨、贝努利家族的工作，微分几何中平面曲线的理论如渐屈线、渐伸线、曲率、包络、曲率半径等问题在17世纪已基本上完成了．

　　空间曲线理论，作为三维微分几何中的重大理论，应归功于法国数学家克莱罗．他把一条空间曲线看作是两个曲面的交线．他在空间曲线微分几何方面的贡献主要是，给出了空间曲线弧长的微积分表达式，以及部分曲面面积的求积公式．他还提出过空间曲线有两个曲率的思想．

　　从1774年开始，欧拉开始了微分几何的研究，他开始用参数方程x=x(s)，y＝y(s)，z＝z(s)表示空间曲线(s为弧长)他得出了空间曲线曲率半径的公式

　　

　　他还给出密切平面方程，这个方程等价于今天的方程：

　　

　　空间曲线的另一个曲率——挠率在18世纪也得到了，用今天的公式

　　柯西等人在19世纪完成的．

　　在一个平面上，两点之间的最短距离是直线，那么在曲面上两点之间的最短弧(距离)是什么呢？为了解决这个问题，17世纪数学家们开始了测地线的研究，从而也就开始了微分几何曲面理论研究．18世纪克莱罗、欧拉、赫尔曼等人都研究过测地线，1728年欧拉还给出了曲面上测地线的微分方程．测地线在今天微分几何教材中构成了一个重要的内容——短程线．

　　1760年，欧拉在《关于曲面上曲线的研究》(RecherchesSur la Courbure des Surfaces)中建立了曲面的理论，这部著作堪称微分几何发展史上的一个里程碑．他将曲面表为z＝f(x，y)，并且引进了下述现代标准

　　对于曲线的法曲率kn，以及任何一个法截面与主曲率所在法截面所

是两个互相垂直的法平面的主曲率．这个公式同时说明，主曲率k1和k2是法曲率kn的最大值、最小值．欧拉自觉或不自觉地引进并使用了主曲率、法曲率、法截线、法平面等一系列新的几何概念．1776年，蒙日的学生梅斯尼埃(J．Meusnier dela Place，1754—1793)得到了“梅斯尼埃定理”：

　　

　　随后他又证明了两个主曲率处处相等的曲面只有平面和球面．他的论文使得18世纪许多微分几何成果变得直观了．

　　1771年，欧拉在《论表面可以展平的立体》一文中，引进了曲面的参数表示：x＝x(t，u)，y＝y(t，u)，z＝t(t，u)并且

　　这些新的表示方法对微分几何的推进极大，直接为研究曲面的基本齐式等问题提供了有力武器．

　　欧拉和蒙日还讨论了可展曲面问题，欧拉在1771年得到了可展曲面的一个充分必要条件：

　　

　　1775年，，蒙日给出了可展曲面的另外三种条件．

　　蒙日是18世纪的几何大师，是继笛卡儿、德扎格之后在几何方面的重要革新者，他在画法几何、解析几何、微分几何、射影几何方面都有卓越的贡献．被人称为射影几何的集大成者，微分几何之父．

省的小城镇博恩(Beaune)一穷苦家庭，先在家乡一天主教学校读书，后转学里昂．不久入梅济耶尔(Méziéres)皇家军事工程学院学习．1768年毕业后在该校任教，1769年完成第一篇关于微分几何学的论文．1772年，被巴黎科学院选为通讯研究员，1775年，皇家军事工程学校正式授予他“皇家数学和物理学教授”头衔，时年29岁．1780年以后定居巴黎，从事数学、科学研究和政治活动．他的广泛的科学研究赢得了好评．拉格朗日在听了蒙日的一次讲演后对他说：“我亲爱的同事，你刚才提出了许多第一流的成果，要是我能够做出来就好了．”在化学方面，他和近代化学之父拉瓦锡(A．L．Lavoisier)一起工作，取得了一些重要成果．他已经意识到了工业发展对科学的要求，因此主张大力发展科学，并且将工业化视为改善人民生活的重要途径．

　　由于出身贫寒，使蒙日深深懂得卑贱者的苦难，因此他热衷于参加社会事务．又由于法国大革命时期和拿破仑执政时期重用学者，使得蒙日得以成为近代参政的著名科学家的代表．法国大革命开始后，蒙日积极投身于其中，1790年加入雅各宾俱乐部，并成为其重要成员，积极利用科学为资产阶级革命服务，在巴黎科学院的度量衡委员会工作．1792年法兰西共和国成立，他在政府中担任海军部长，重视武器装备的设计与改进，并企图用技术思想来指导政府官员，但由于过于温和而遭政府中不少官员的反对，任职8个月后即辞职，继续进行度量衡等问题的研究，以后又曾担任科学普及委员会、公众健康委员会委员等．

　　蒙日十分注重科学技术教育，1794年负责筹建法国第一流的高等科技学院，没多久建成了著名的法国多科工艺学校，他担校长多年，培养出了一大批世界知名学者．他还建议成立培养师资的专门学校，1795年1月建成了世界上第一所高等师范学校——巴黎高等师范学校．他为法国乃至西方的高等科学技术教育、师范教育奠定了基础．

　　拿破仑执政后，蒙日深得这位曾一度是其学生的法兰西统帅的重用．1798年7月随拿破仑去埃及，曾筹建埃及科学院并任院长，在埃及时对沙漠中的海市蜃楼现象作出了解释．拿破仑雾月政变后，蒙日被任命为元老院终身议员，后任议长．1800年，创立国家工业奖励会，同年，拿破仑以高级爵位、勋章授予蒙日．1808年被封为佩吕斯(Péluse)伯爵．拿破仑失败、波旁王朝复辟后，他被革去一切职务．不久病逝．

　　蒙日在多科工艺学校和高等师范学校培养了许多著名学者，尤其是建立了几何学派．他巧妙地将微积分、微分方程与几何学结合起来，在微积分中引进了几何语言，在几何中引入了微积分工具．他在微分方程中引入了特征曲线，特征锥等一系列全新的概念，在微分几何中引进了三维空间的曲面曲率线的概念．尤为重要的是，他在巴黎高等工艺大学的几何教学，培养了许多有才能的几何学者，如杜班(C．Dupin，1784—1873)和庞斯列(V．Poncelet，1788—1867)，对几何学的发展产生了深远影响．

　　18世纪微分几何的研究主要是受大地测量和地图绘制等问题的推动．在这些问题的研究中发现了保角映射等映射问题，拉格朗日、欧拉、兰伯特等人曾研究过这些问题，如兰伯特第一个研究了球面到平面的保角映射，并于1772年得到了这种映射的公式，1779年拉格朗日得到了地球表面的一部分映射到一平面区域并且把纬圆和经圆都变为圆弧的全部保角变换，欧拉则利用映射方面的知识绘制了一张俄国地图．但是这方面的进一步发展却有待19世纪复变函数理论．18世纪的微分几何实际上只是为19世纪的大发展作准备．

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