一次函数新授课教案_八年级数学一次函数教案

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八年级数学一次函数教案

§11．2．2 一次函数(一)

教学目标

　　1、掌握一次函数解析式的特点及意义

　　2、知道一次函数与正比例函数的关系

　　3、理解一次函数图象特点与解析式的联系规律

教学重点

1、 一次函数解析式特点

2、 一次函数图象特征与解析式的联系规律

教学难点

　　1、一次函数与正比例函数关系

　　2、根据已知信息写出一次函数的表达式。

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

　　问题1 小明暑假第一次去北京．汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均车速是95千米/小时．已知A地直达北京的高速公路全程为570千米，小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离．

　　分析 我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的值,显然,应该探求这两个变量的变化规律．为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,根据题意,s和t的函数关系式是

s＝570－95t．

　　说明 找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步,这里的s、t是两个变量，s是t的函数，t是自变量，s是因变量．

　　问题2 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元,从现在起每个月节存12元．试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的函数关系式．

　　分析 我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为y元,得到所求的函数关系式为：y＝50＋12x．

　　问题3 以上问题1和问题2表示的这两个函数有什么共同点?

Ⅱ．导入新课

　　上面的两个函数关系式都是左边是因变量y，右边是含自变量x的代数式。并且自变量和因变量的指数都是一次。若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。

例1：下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）

　　①y=x-6；②y=；③y=；④y=7-x

　　A、①②③ B、①③④ C、①②③④ D、②③④

例2 下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？

　(1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)；

　(2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm)；

　(3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨；

　(4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）．

　（5）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程中y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系式；

　（6）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；

　（7）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）

　　分析 确定函数是否为一次函数或正比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y＝kx＋b(k≠0)或y＝kx(k≠0)形式，所以此题必须先写出函数解析式后解答．

解 (1)，不是一次函数．

　　(2)L＝2b＋16，L是b的一次函数．

　　(3)y＝150－5x，y是x的一次函数．

　　(4)s＝40t,s既是t的一次函数又是正比例函数．

　　（5）y=60x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数；

　　（6）y=πx2，y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数；

　　（7）y=50+2x，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数

例3 已知函数y＝(k－2)x＋2k＋1，若它是正比例函数，求k的值．若它是一次函数，求k的值．

分析 根据一次函数和正比例函数的定义,易求得k的值．

解 若y＝(k－2)x＋2k＋1是正比例函数,则2k＋1＝0,即k＝．

若y＝(k－2)x＋2k＋1是一次函数,则k－2≠0,即k≠2．

例4 已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．

　(1)写出y与x之间的函数关系式；

　(2)y与x之间是什么函数关系；

　(3)求x＝2.5时，y的值．

解 (1)因为 y与x－3成正比例,所以y＝k(x－3)．

又因为x＝4时，y＝3，所以3＝ k(4－3)，解得k＝3，

所以y＝3(x－3)＝3x－9．

(2) y是x的一次函数．

(3)当x＝2.5时，y＝3×2.5＝7.5．

例5 已知A、B两地相距30千米，B、C两地相距48千米．某人骑自行车以每小时12千米的速度从A地出发，经过B地到达C地．设此人骑行时间为x（时），离B地距离为y（千米）．

　(1)当此人在A、B两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x取值范围．

　(2)当此人在B、C两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x的取值范围．

分析 (1)当此人在A、B两地之间时，离B地距离y为A、B两地的距离与某人所走的路程的差．

(2)当此人在B、C两地之间时，离B地距离y为某人所走的路程与A、B两地的距离的差．

解 (1) y＝30－12x．(0≤x≤2.5)

(2) y＝12x－30．(2.5≤x≤6.5)

例6　某油库有一没储油的储油罐，在开始的8分钟时间内，只开进油管，不开出油管，油罐的进油至24吨后，将进油管和出油管同时打开16分钟，油罐中的油从24吨增至40吨．随后又关闭进油管，只开出油管，直至将油罐内的油放完．假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变．写出这段时间内油罐的储油量y（吨）与进出油时间x（分）的函数式及相应的x取值范围．

分析 因为在只打开进油管的8分钟内、后又打开进油管和出油管的16分钟和最后的只开出油管的三个阶级中，储油罐的储油量与进出油时间的函数关系式是不同的，所以此题因分三个时间段来考虑．但在这三个阶段中，两变量之间均为一次函数关系．

解 在第一阶段：y＝3x(0≤x≤8)；

在第二阶段：y＝16＋x(8≤x≤16)；

在第三阶段：y＝－2x＋88(24≤x≤44)．

Ⅲ．随堂练习

　　1、见下表：

x

-2

-1

0

1

2

......

y

-5

-2

1

4

7

......

　　根据上表写出y与x之间的关系式是：________________，y是否为x一的次函数？y是否为x有正比例函数？

　　2、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6米3时，水费按0.6元/米3收费；每户每月用水量超过6米3时，超过部分按1元/米3收费。设每户每月用水量为x米3，应缴水费y元。（1）写出每月用水量不超过6米3和超过6米3时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数。（2）已知某户5月份的用水量为8米3，求该用户5月份的水费。[①y=0.6x，y=x-2.4，y是x的一次函数。②y=8-2.4=5.6（元）]

Ⅳ．课时小结

　　1、一次函数、正比例函数的概念及关系。

　　2、能根据已知简单信息，写出一次函数的表达式。

Ⅴ．课后作业

1、已知y－3与x成正比例，且x＝2时，y＝7

　(1)写出y与x之间的函数关系．

　(2)y与x之间是什么函数关系．

　(3)计算y＝－4时x的值．

2.甲市到乙市的包裹邮资为每千克0.9元，每件另加手续费0.2元，求总邮资y（元）与包裹重量x（千克）之间的函数解析式，并计算5千克重的包裹的邮资．

3.仓库内原有粉笔400盒．如果每个星期领出36盒，求仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t之间的函数关系．

4.今年植树节，同学们种的树苗高约1.80米．据介绍，这种树苗在10年内平均每年长高0.35米．求树高与年数之间的函数关系式．并算一算4年后同学们中学毕业时这些树约有多高．

5.按照我国税法规定：个人月收入不超过800元，免交个人所得税．超过800元不超过1300元部分需缴纳5%的个人所得税．试写出月收入在800元到1300元之间的人应缴纳的税金y（元）和月收入x（元）之间的函数关系式．

板书设计

§11．2．2 一次函数

一、一次函数的定义

二、一次函数与正比例函数的联系

三、根据题意列函数关系式

四、随堂练习

　　　　　　　　§11．2．2 一次函数(二)

教学目标

　　1、理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。

　　2、能较熟练作出一次函数的图象。

教学重点

　　1、能熟练地作出一次函数的图象。

3、 归纳作函数图象的一般步骤。

教学难点

　　理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。

教学过程

　　Ⅰ．提出问题，创设情境

　　1、回顾作函数图象的一般步骤

　　前面我们已经学习了一次函数及正比例函数的概念,正比例函数与一次函数的关系,并能根据已知信息列出x与y的函数关系式,本节课我们研究一下一次函数的图象及性质。

2．在同个平面直角坐标系中画出下列函数的图象．

　　 (1)y＝-6x (2)y＝-6x＋5 (3)y＝3x (4)y＝3x＋2

　　Ⅱ．导入新课

　　问题l：以上四个一次函数图象是什么形状呢?

让学生观察、讨论，得出四个函数的图象都是直线．

问题2：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象都是一条直线吗?举例验证．

让学生猜想，举例验证，发现一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线。指出这条直线通常也称为直线y＝kx＋b(b≠0)，特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过(0，0)的一条直线．

问题3：几个点可以确定一条直线?

问题4：画一次函数图象时，只要取几个点?

只要取两点。今后画一次函数的图象，只要取两点再过两点画直线即可．

　　问题5：观察"做一做"画出的四个函数的图象，如图所示，比较下列各对一次函数的图象有什么共同点，有什么不同点．

　　(1)y＝-6x与y＝-6x＋2

　　(2)y＝x与y＝x＋2

　　(3)y＝-6x＋2与y＝x＋2

　　能否从中发现一些规律?

问题6：对于直线y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)．常数k和b的取值对于直线的 位置各有什么影响?

让学生讨论，交流，然后填空：

　　两个一次函数，当k一样，b不一样时，有

　　共同点：__________________________

　　不同点:___________________________

　　当两个一次函数，b一样，k不一样时，有

　　共同点：__________________________

　　不同点：__________________________

　　在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象

(1)y＝2x与y＝2x＋3 (2)y＝2x＋l与y＝x＋1

　　请同学们画出图象后，看看是否与上面的讨论结果一样．

　　Ⅲ．例题与练习

　　例1（1）作出一次函数y=-2x+5的图象，

　　（2）在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否满足关系式y=-2x+5。

　　列表：

x

...

-2

-1

0

1

2

...

y=-2x+5

...

9

7

5

3

1

...

　　描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标第内描出相应的点。

　　连线：把这些点依次连接起来，得到y=-2x+5的图象，它是一条直线。

　　图象如下：

　　在图象上找点A（3，-1）B（4，-3），当x=3时，y=-2×3+5=-1；当x=4时，y=-2×4+5=-3。（3，-1），（4，-3）满足关系式y=-2x+5。

议一议

（1）满足关系式y=-2x+5的x、y所对应的点（x,y）都在一次函数y=-2x+5的图象上吗？

（2）一次函数y=-2x+5的图象上的点（x,y）都满足关系式y=-2x+5吗？

分组讨论，然后回答。

（1）满足关系式y=-2x+5的x，y所对应的点（x，y）都在一次函数y=-2x+5的图象上。

（2）一次函数y=-2x+5的图象上的点（x,y）都满足关系式y=-2x+5。

　　由此看来，满足函数关系式y=-2x+5的x,y所对应的点（x,y）都在一次函数y=-2x+5的图象上；反过来，一次函数y=-2x+5的图象上的点(x,y)都满足关系式y=-2x+5。所以，一次函数的代数表达式与图象是一一对应的，即满足一次函数的代数表达式的点在图象上，图象上的每一点的横坐标x，纵坐标y都满足一次函数的代数表达式。

例2 在同一平面直角坐标系中画出下列每组函数的图象．

　(1)y＝2x与y＝2x＋3；

　(2)y＝3x＋1与．

解

想一想 (1)上面每组中的两条直线有什么关系？(2)你取的是哪几个点，互相交流，看谁取的点比较简便．

　　结论：一般情况下，要取直线与x轴、y轴的交点比较简便．

例3 直线分别是由直线经过怎样的移动得到的．

分析 只要k相同，直线就平行，一次函数y＝kx＋b(k≠0)是由正比例函数的图象y＝kx(k≠0)经过向上或向下平移个单位得到的．b＞0，直线向上移；b＜0，直线向下移．

解 是由直线向上平移3个单位得到的；而是由直线向下平移5个单位得到的．

Ⅳ．课时小结

1．一次函数的图象是什么形状呢?

2．画一次函数图象时，只要取几个点?怎样取比较简便?

　　3．两个一次函数图象，当k一样，b不一样时，有什么共同点和不同点?当b一样，k不一样时，有什么共同点和不同点?

Ⅴ．课后作业

§11．2．2 一次函数

一、一次函数的图象

二、图象性质

三、画一次函数图象的步骤

§11．2．2 一次函数(三)

教学目标

1.掌握一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质.

2.能根据k与b的值说出函数的有关性质.

教学重点

1.一次函数中k与b的值对函数性质的影响；

2.结合图象体会一次函数k、b的取值和直线位置的关系，提高数形结合能力．

教学难点

一次函数k、b的取值和直线位置的关系，数形结合能力

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

1.一次函数的图象是一条直线，一般情况下我们画一次函数的图象，取哪两个点比较简便？

2.在同一直角坐标系中，画出函数和y＝3x-2的图象.

问 在所画的一次函数图象中，直线经过几个象限.

Ⅱ．导入新课

1.在所画的一次函数图象中，直线经过了三个象限.

2.观察图象发现在直线上，当一个点在直线上从左向右移动时，（即自变量x从小到大时），点的位置也在逐步从低到高变化（函数y的值也从小变到大）.

即：函数值y随自变量x的增大而增大.

　　讨论：函数y＝3x-2是否也有这种现象?

　　既然，一次函数的图象经过三个象限，观察上述两个函数的图象，从它经过的象限看，它必经过哪两个象限（可以再画几条直线分析）？

　　发现上述两条直线都经过一、三象限．又由于直线与y轴的交点坐标是(0,b)所以，当b＞0时，直线与x轴的交点在y轴的正半轴，也称在x轴的上方；当b＜0时，直线与x轴的交点在y轴的负半轴，也称在x轴的下方．所以当k＞0,b≠0时，直线经过一、三、二象限或一、三、四象限.

3.在同一坐标系中，画出函数y＝-x＋2和的图象（图略）.

　　根据上面分析的过程，研究这两个函数图象是否也有相应的性质？能发现什么规律.

　　观察函数y＝-x＋2和的图象发现：当一个点在直线上从左向右移动时(即自变量x从小到大时)，点的位置逐步从高到低变化（函数y的值也从大变到小）.

即：函数值y随自变量x的增大而减小.

　　又发现上述两条直线都经过二、四象限，且当b＞0时，直线与x轴的交点在y轴的正半轴，或在x轴的上方；当b＜0时，直线与x轴的交点在y轴的负半轴，或在x轴的下方.所以当k＜0,b≠0时，直线经过二、四、一象限或经过二、四、三象限.

　　一次函数y＝kx＋b有下列性质：

(1)当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；

(2)当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.

　　特别地，当b＝0时，正比例函数也有上述性质.

当b＞0,直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，直线与y轴交于正半轴.

下面，我们把一次函数中k与b的正、负与它的图象经过的象限归纳列表为：

4.利用上面的性质，我们来看问题1和问题2反映了怎样的实际意义？

问题1 随着时间的增长,小明离北京越来越近.

问题2 随着时间的增长,小张的存款越来越多.

Ⅲ．例题与练习

例1 已知一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5,当m是什么数时，函数值y随x的增大而减小？

分析 一次函数y＝kx＋b(k≠0)，若k＜0，则y随x的增大而减小．

解 因为一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5，函数值y随x的增大而减小．

所以，2m-1＜0,即.

例2 已知一次函数y＝(1-2m)x＋m-1，若函数y随x的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限,求m的取值范围.

分析 一次函数y＝kx＋b(k≠0)，若函数y随x的增大而减小，则k＜0,若函数的图象经过二、三、四象限，则k＜0,b＜0.

解 由题意得: ,

解得，

例3 已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m图象与y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数.

(1)求m的值；(2)当x取何值时，0＜y＜4？

分析 一次函数y＝kx＋b(k≠0)与y轴的交点坐标是(0,b)，而交点在x轴下方，则b＜0,而y随x的增大而减小,则k＜0.

解 (1)由题意得：，

解之得，,又因为m为整数,所以m＝2.

(2)当m＝2时，y＝-2x-1.

又由于0＜y＜4.所以0＜-2x-1＜4.

解得：.

例4 说出直线y＝3x＋2与；y＝5x-1与y＝5x-4的相同之处．

分析 k相同，直线就平行．b相同，直线与y轴交于同一点，且交点坐标为(0,b)．

解 直线y＝3x＋2与的b相同，所以这两条直线与y轴交于同一点，，且交点坐标为(0,2)；

　　直线y＝5x-1与y＝5x-4的k都是5，所以这两条直线互相平行．

例5 画出直线y＝-2x＋3，借助图象找出:

　(1)直线上横坐标是2的点；

　(2)直线上纵坐标是-3的点；

　(3)直线上到y轴距离等于1的点．

解 (1)直线上横坐标是2的点是A(2,-1)；

(2)直线上纵坐标是-3的点B(3,-3)；

(3)直线上到y轴距离等于1的点C(1,1)和D(-1,5)．

例5 画出函数y＝-2x＋2的图象，结合图象回答下列问题：

　(1)这个函数中，随着x的增大，y将增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？

　(2)当x取何值时，y＝0?

　(3)当x取何值时，y＞0？

分析 (1)由于k＝-2＜0,y随着x的增大而减小.

(2) y＝0,即图象上纵坐标为0的点,所以这个点在x轴上.

(3) y＞0,即图象上纵坐标为正的点,这些点在x轴的上方.

解 (1)由于k＝-2＜0,所以随着x的增大，y将减小. 当一个点在直线上从左向右移动时，点的位置也在逐步从高到低变化,即图象从左到右呈下降趋势.

(2)当x＝1时, y＝0 .

(3)当x＜1时, y＞0.

Ⅳ．课时小结

1．(1)当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；

(2)当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.

当b>0,直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，直线与y轴交于负半轴；当b=0时，直线与y轴交于坐标原点.

2．k＞0,b＞0时，直线经过一、二、三象限；

　k＞0,b＜0时，直线经过一、三、四象限；

k＜0,b＞0时，直线经过一、二、四象限；

k＜0,b＜0时，直线经过二、三、四象限.

Ⅴ．课后作业

1.已知函数,当m为何值时，这个函数是一次函数.并且图象经过第二、三、四象限？

2.已知关于x的一次函数y＝(-2m＋1)x＋2m2＋m-3.

　(1)若一次函数为正比例函数，且图象经过第一、第三象限，求m的值；

　(2)若一次函数的图象经过点(1，-2),求m的值.

3.已知函数.

　(1)当m取何值时，y随x的增大而增大?

　(2)当m取何值时，y随x的增大而减小?

4.已知点(-1,a)和都在直线上，试比较a和b的大小.你能想出几种判断的方法？

5.某个一次函数的图象位置大致如下图所示，试分别确定k、b的符号，并说出函数的性质.

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