高中数学等差数列教案
本文关键词：高中数学等差数列教案，由笔耕文化传播整理发布。
相关热词搜索：
篇一：高中数学等差数列教案
课 题：
3.1 等差数列（一）
教学目的：
1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；
2．会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：
本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线教学过程：
一、复习引入：
上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n项和公式..看这样一些例子
1．小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只 yes,no,you,me,he 5起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，? （问：多少天后他的单词量达到3000？）
2．小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：
3000，2995，2990，2985，?
（问：多少天后她那3000个单词全部忘光？）
从上面两例中，我们分别得到两个数列
① 5，15，25，35，?和 ② 3000，2995，2990，2980，? 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？
·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列
二、讲解新课：
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的
差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{an},若an－an?1=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N?，则此数列
是等差数列，d 2．等差数列的通项公式：an?a1?(n?1)d【或an?am?(n?m)d】
?an?的首项是a1，公
差是d，则据其定义可得： a2?a1?d即：a2?a1?d
a3?a2?d即：a3?a2?d?a1?2d
a4?a3?d即：a4?a3?d?a1?3d
??
由此归纳等差数列的通项公式可得：an?a1?(n?1)d
∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an如数列①1，2，3，4，5，6； an?1?(n?1)?1?n（1≤n≤6） 数列②10，8，6，4，2，?； an?10?(n?1)?(?2)?12?2n（n≥1） 数列③;,;,1,?; an?
55551234
15
?(n?1)?
15
?
n5
（n≥1）
由上述关系还可得：am?a1?(m?1)d 即：a1?am?(m?1)d
则：an?a1?(n?1)d=am?(m?1)d?(n?1)d?am?(n?m)d
am?anm?n
即的第二通项公式 an?am?(n?m)d∴ d=如：a5?a4?d?a3?2d?a2?3d?a1?4d 三、例题讲解
例1 ⑴求等差数列8，5，2?的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13?的项？如果是，是第几项？ 解：⑴由a1?8,d?5?8?2?5??3 n=20，得a20?8?(20?1)?(?3)??49 ⑵由a1??5,d??9?(?5)??4 得数列通项公式为：an??5?4(n?1)
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得?401??5?4(n?1)成立解之得
n=100，即-401是这个数列的第100例2 在等差数列?an?中，已知a5?10，a12?31，求a1,d,a20,an 解法一：∵a5?10，a12?31，则 ?a1?4d?10 ?
?a1?11d?31
?
?a1??2
∴an?a1?(n?1)d?3n?5 ?
?d?3
a20?a1?19d?55
解法二：∵a12?a5?7d?31?10?7d?d?3
∴a20?a12?8d?55 an?a12?(n?12)d?3n?5小结：第二通项公式 an?am?(n?m)d
例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列un中，设数列的第s项和第t项分别为
us和ut，计算
us?uts?t
解：通过计算发现
us?uts?t
的值恒等于公差
证明：设等差数列{un}的首项为u1，末项为un，公差为d， ?us?u1?(s?1)d?
?ut?u1?(t?1)d
(1)(2)
⑴-⑵得us?ut?(s?t)d ?
us?uts?t
?d
小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率
例4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等解：设?an?表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列， 由已知条件，可知：a1=33, a12=110，n=12
∴a12?a1?(12?1)d,即10=33+11d解得：d?7因此，a2?33?7?40,a3?40?7?47,a4?54,a5?61,
a6?68,a7?75,a8?82,a9?89,a10?96,a11?103,
答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.
例5 已知数列{an}的通项公式an?pn?q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差数列的定义，要判定?an?是不是等差数列，只要看an?an?1（n≥2）是不是一个与n解：当n≥2时, （取数列?an?中的任意相邻两项an?1与an（n≥2））
an?an?1?(pn?q)?[p(n?1)?q]?pn?q?(pn?p?q)?p为常数
∴{an}是等差数列，首项a1?p?q，公差为注：①若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…
②若p≠0, 则{an}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.
③数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q (p、q是常数第3通项公
式
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3四、练习：
1.（1）求等差数列3，7，11，??的第4项与第10项.
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.
解：根据题意可知：a1=3,d=7－3=4.
∴该数列的通项公式为：an=3+（n－1）×4,即an=4n－1（n≥1,n∈N*） ∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39. 评述：关键是求出通项公式.
（2）求等差数列10，8，6，??的第20项. 解：根据题意可知：a1=10,d=8－10=－2.
∴该数列的通项公式为：an=10+（n－1）×（－2）,即：an=－2n+12, ∴a20=－2×20+12=－28.
评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.
（3）100是不是等差数列2，9，，16，??的项？如果是，是第几项？如果不是，说明
理由.
分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得an等于这一数.
解：根据题意可得：a1=2,d=9－2=7.
∴此数列通项公式为：an=2+（n－1）×7=7n－5. 令7n－5=100,解得：n=15,∴100是这个数列的第15项. （4）－20是不是等差数列0，－3
12
，－7，??的项？如果是，是第几项？如果不是，
12
说明理由. 解：由题意可知：a1=0,d=－3
令－
72
∴此数列的通项公式为：an=－
72
n+
72
,
n+
72
72
=－20,解得n=
72
477
因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.
2.在等差数列{an}中，（1）已知a4=10,a7=19,求a1与d; （2）已知a3=9, a9=3,求a12. 解：（1）由题意得：?
?a1?3d?10?a1?6d?19
,解之得：?
?a1?1?d?3
.
?a1?2d?9?a1?11（2）解法一：由题意可得：?, 解之得?
d??1??a1?8d?3
∴该数列的通项公式为：an=11+（n－1）×（－1）=12－n,∴a12=0 解法二：由已知得：a9=a3+6d,即：3=9+6d,∴d=－1 又∵a12=a9+3d,∴a12=3+3×（－1）=0. Ⅳ.课时小结
五、小结 通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an－
an?1=d ，（n≥2，n∈N?）.其次，要会推导等差数列的通项公式：an?a1?(n?1)d，
并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：an?am?(n?m)d和an=pn+q (p、q是常数)的理解与应用. 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记：
篇二：高一数学等差数列第一课时教案
高一数学等差数列第一课时教案
3.2.1等差数列
教学目标
1．明确等差数列的定义．
2．掌握等差数列的通项公式，会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题
3．培养学生观察、归纳能力．
教学重点
1． 等差数列的概念；
2． 等差数列的通项公式
教学难点
等差数列“等差”特点的理解、把握和应用
教学方法
启发式数学
教具准备
投影片1张(内容见下面)
教学过程
(I)复习回顾
师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。（放投影片）
（Ⅱ）讲授新课
师：看这些数列有什么共同的特点？
生：积极思考，找上述数列共同特点。
对于数列①an?n（1≤n≤6）；an?an?1?1（2≤n≤6）
对于数列②an?12-2n（n≥1）
an?an?1??2（n≥2）
n（n≥1） 5
1 an?an?1?（n≥2） 5对于数列③an?
共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。
一、定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。 如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，-2，
二、等差数列的通项公式
师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列?an?的首项是a1，公差是d，则据其定义可得： 1 。 5
?a2?a1?d?(n?1)个等式?a3?a2?d
?a?a?dn?1?n
若将这n-1个等式相加，则可得：
a2?a1?d即：a2?a1?d
a3?a2?d即：a3?a2?d?a1?2d
a4?a3?d即：a4?a3?d?a1?3d
??
由此可得：an?a1?(n?1)d
师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an。 如数列①an?1?(n?1)?1?n（1≤n≤6）
数列②：an?10?(n?1)?(?2)?12?2n（n≥1） 数列③：an?11n?(n?1)??（n≥1） 555
由上述关系还可得：am?a1?(m?1)d
即：a1?am?(m?1)d
则：an?a1?(n?1)d=am?(m?1)d?(n?1)d?am?(n?m)d
如：a5?a4?d?a3?2d?a2?3d?a1?4d
三、例题讲解
例1：（1）求等差数列8，5，2?的第20项
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13?的项？如果是，是第几项？
解：（1）由a1?8,d?5?8?2?5??3
n=20，得a20?8?(20?1)?(?3)??49
（2）由a1??5,d??9?(?5)??4
得数列通项公式为：an??5?4(n?1)
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4（n-1）成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。
（Ⅲ）课堂练习
生：（口答）课本P118练习3
（书面练习）课本P117练习1
师：组织学生自评练习（同桌讨论）
（Ⅳ）课时小结
师：本节主要内容为：①等差数列定义。
即an?an?1?d(n≥2)
②等差数列通项公式 an?a1?(n?1)d(n≥1)
推导出公式：an?am?(n?m)d
（V）课后作业
一、课本P118习题3.21，2
二、1．预习内容：课本P116例2—P117例4
2．预习提纲：①如何应用等差数列的定义及通项公式解决一些相关问题？
②等差数列有哪些性质？
板书设计
教学后记
篇三：高中数学等差数列教案
等差数列
教学目的：
1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；
2．会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 教学过程：
引入：① 5，15，25，35，?和 ② 3000，2995，2990，2985，? 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？
共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等-----应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课：
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的
差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{an},若an－an?1=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d 为公?
2．等差数列的通项公式：an?a1?(n?1)d【或an?am?(n?m)d】
?an?的首项是a1，公差是d，则据其定义可
得：a2?a1?d即：a2?a1?d
a3?a2?d即：a3?a2?d?a1?2d
a4?a3?d即：a4?a3?d?a1?3d ??
由此归纳等差数列的通项公式可得：an?a1?(n?1)d
∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项a如数列①1，2，3，4，5，6； an?1?(n?1)?1?n（1≤n≤6） 数列②10，8，6，4，2，?； an?10?(n?1)?(?2)?12?2n（n≥1） 数列③
1234
;,;,1,?; an?1?(n?1)?1?n（n≥1） 5555555
由上述关系还可得：am?a1?(m?1)d 即：a1?am?(m?1)d
则：an?a1?(n?1)d=am?(m?1)d?(n?1)d?am?(n?m)d 即的第二通项公式 an?am?(n?m)d∴ d=am?an
m?n
如：a5?a4?d?a3?2d?a2?3d?a1?4d 三、例题讲解
例1 ⑴求等差数列8，5，2?的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13?的项？如果是，是第几项？
解：⑴由a1?8,d?5?8?2?5??3 n=20，得a20?8?(20?1)?(?3)??49 ⑵由a1??5,d??9?(?5)??4得数列通项公式为：an??5?4(n?1)
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得?401??5?4(n?1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100例2 在等差数列?an?中，已知a5?10，a12?31，求a1,d,a20,an
解法一：∵a5?10，a12?31，则 ?a1?4d?10??a1??2∴an?a1?(n?1)d?3n?5
??
?d?3?a1?11d?31
a20?a1?19d?55
解法二：∵a12?a5?7d?31?10?7d?d?3
∴a20?a12?8d?55 an?a12?(n?12)d?3n?小结：第二通项公式 an?am?(n?m)d
例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列un中，设数列的第s项和第t项分别为us和ut，计算us?ut
s?t
解：通过计算发现us?ut的值恒等于公差
s?t
证明：设等差数列{un}的首项为u1，末项为un，公差为d，?us?u1?(s?1)d
?
?ut?u1?(t?1)d⑴-⑵得us?ut?(s?t)d ?
us?ut
?d s?t
(1) (2)
小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率
例4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各解：设?an?表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列， 由已知条件，可知：a1=33, a12=110，n=12
∴a12?a1?(12?1)d,即10=33+11d解得：d?7因此，a2?33?7?40,a3?40?7?47,a4?54,a5?61,
a6?68,a7?75,a8?82,a9?89,a10?96,a11?103,
答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.
例5 已知数列{an}的通项公式an?pn?q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差数列的定义，要判定?an?是不是等差数列，只要看an?an?1（n≥2）是不是一个与n无关的常解：当n≥2时, （取数列?an?中的任意相邻两项an?1与an（n≥2））
an?an?1?(pn?q)?[p(n?1)?q]?pn?q?(pn?p?q)?p为常数
∴{an}是等差数列，首项a1?p?q，公差为
注：①若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…
②若p≠0, 则{an}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.
③数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=p n+q (p、q是常数3通项公式
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3四、练习：
1.（1）求等差数列3，7，11，??的第4项与第10项. 解：根据题意可知：a1=3,d=7－3=4.
∴该数列的通项公式为：an=3+（n－1）×4,即an=4n－1（n≥1,n∈N*） ∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39. （2）求等差数列10，8，6，??的第20项. 解：根据题意可知：a1=10,d=8－10=－2.
∴该数列的通项公式为：an=10+（n－1）×（－2）,即：an=－2n+12,∴a20=－2×20+12=－28. 评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.
（3）100是不是等差数列2，9，16，??的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 解：根据题意可得：a1=2,d=9－2=7.
∴此数列通项公式为：an=2+（n－1）×7=7n－5. 令7n－5=100,解得：n=15,∴100是这个数列的第15项.
（4）－20是不是等差数列0，－31，－7，??的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 解：
2
由题意可知：a1=0, d=－31 ∴此数列的通项公式为：an=－7n+7,令－7n+7=－20,解得n=47
2
2
2227
因为－7n+7=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.
2
2
2.在等差数列{an}中，（1）已知a4=10,a7=19,求a1与d; （2）已知a3=9, a9=3,求a12.
a1?1. 解：（1）由题意得：?a1?3d?10,解之得：???
?d?3?a1?6d?19（2）解法一：由题意可得：?a1?2d?9, 解之得?a1?11
??
?d??1?a1?8d?3
∴该数列的通项公式为：an=11+（n－1）×（－1）=12－n,∴a12=0 解法二：由已知得：a9=a3+6d,即：3=9+6d,∴d=－1 又∵a12=a9+3d,∴a12=3+3×（－1）=0. Ⅳ.课时小结
五、小结 通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an－an?1=d ，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：an?a1?(n?1)d，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：an?am?(n?m)d和an=p n+q (p、q是常数)的理解与应用.
?
篇四：高中数学等差数列教案
课 题：2.2 等差数列（一）
教学目的：
1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；
2．会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题
教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式
教学难点：等差数列的性质
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线教学过程：
一、复习引入：
上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n项和公式..看这样一些例子:
2. 小明目前会100个单词，他打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为： 100，98，96，94，92①
3. 小芳只会5个单词，他决定从今天起每天背记10个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递增为 5，15，25(转载于: 在点 网:高中数学等差数列教案)，35，45 ②
请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？
·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课：
通过练习2和3 引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。
(二) 新课探究
1、由引入自然的给出等差数列的概念：
如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调： ① “从第二项起”满足条件；
②公差d一定是由后项减前项所得；
③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）；
在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：
an+1-an=d(n≥1)
同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。
1. 9 ，8，7，6，5，4，??；√ d=-1
2. 0.70，0.71，0.72，0.73，0.74??；√ d=0.01
3. 0，0，0，0，0，0，??.; √ d=0
4. 1，2，3，2，3，4，??；×
5. 1，0，1，0，1，??×
其中第一个数列公差<0, 第二个数列公差>0,第三个数列公差=0
由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0
2、第二个重点部分为等差数列的通项公式
在归纳等差数列通项公式中，我采用讨论式的教学方法。给出等差数列的首项，公差d，由学生研究分组讨论a4 的通项公式。通过总结a4的通项公式由学生猜想a40的通项公式，进而归纳an的通项公式。整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。
若一等差数列{an }的首项是a1,公差是d,
则据其定义可得：
a2 - a1 =d 即： a2 =a1 +d a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d
a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d
??
猜想: a40 = a1 +39d
进而归纳出等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d
三、例题讲解
例1 ⑴求等差数列8，5，2?的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13?的项？如果是，是第几项？
解：⑴由a1?8,d?5?8?2?5??3
n=20，得a20?8?(20?1)?(?3)??49
⑵由a1??5,d??9?(?5)??4
得数列通项公式为：an??5?4(n?1)
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得?401??5?4(n?1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100例2 在等差数列?an?中，已知a5?10，a12?31，求a1,d,a20,an
解法一：∵a5?10，a12?31，则
?a1??2?a1?4d?10??∴an?a1?(n?1)d?3n?5 ??d?3?a1?11d?31
a20?a1?19d?55
解法二：∵a12?a5?7d?31?10?7d?d?3
∴a20?a12?8d?55 an?a12?(n?12)d?3n?小结：第二通项公式 an?am?(n?m)d
例3 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等解：设?an?表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，
由已知条件，可知：a1=33, a12=110，n=12
∴a12?a1?(12?1)d,即10=33+11d解得：d?7
因此，a2?33?7?40,a3?40?7?47,a4?54,a5?61,
a6?68,a7?75,a8?82,a9?89,a10?96,a11?103,
答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.
例4 已知数列{an}的通项公式an?pn?q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差数列的定义，要判定?an?是不是等差数列，只要看an?an?1（n≥2）是不是一个与n解：当n≥2时, （取数列?an?中的任意相邻两项an?1与an（n≥2））
an?an?1?(pn?q)?[p(n?1)?q]?pn?q?(pn?p?q)?p为常数
∴{an}是等差数列，首项a1?p?q，公差为注：①若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…
②若p≠0, 则{an}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.
nn式
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3四、练习：
1.（1）求等差数列3，7，11，??的第4项与第10项.
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.
解：根据题意可知：a1=3,d=7－3=4.
∴该数列的通项公式为：an=3+（n－1）×4,即an=4n－1（n≥1,n∈N*）
∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39.
评述：关键是求出通项公式.
（2）求等差数列10，8，6，??的第20项.
解：根据题意可知：a1=10,d=8－10=－2.
∴该数列的通项公式为：an=10+（n－1）×（－2）,即：an=－2n+12,
∴a20=－2×20+12=－28.
评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.
（3）100是不是等差数列2，9，16，??的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得an等于这一数.
解：根据题意可得：a1=2,d=9－2=7.
∴此数列通项公式为：an=2+（n－1）×7=7n－5.
令7n－5=100,解得：n=15,∴100是这个数列的第15项.
1，－7，??的项？如果是，是第几项？如果不是， 2
177说明理由. 解：由题意可知：a1=0,d=－3 ∴此数列的通项公式为：an=－n+, 222
7747令－n+=－20,解得n= 227
77因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项. 22（4）－20是不是等差数列0，－3
2.在等差数列{an}中，（1）已知a4=10,a7=19,求a1与d;
3912?a1?3d?10?a1?1解：（1）由题意得：?,解之得：?. a?6d?19d?3??1
?a1?2d?9?a1?11（2）解法一：由题意可得：?, 解之得? d??1a?8d?3??1
∴该数列的通项公式为：an=11+（n－1）×（－1）=12－n,∴a12=0 解法二：由已知得：a9=a3+6d,即：3=9+6d,∴d=－1
又∵a12=a9+3d,∴a12=3+3×（－1）=0.
Ⅳ.课时小结
五、小结 通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an－
?（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：an?a1?(n?1)d，an?1=d ，
并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：an?am?(n?m)d和an=pn+q (p、q是常数)的理解与应用.
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：
篇五：高中数学等差数列教案(二)
课 题：3.3 等差数列的前n项和（二） 教学目的：1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.
2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.
教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式
教学难点：灵活应用求和公式解决问题
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节是在集合与简易逻辑之后学习的，映射概念本身就属于集合的
教学过程：
一、复习引入：
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1.等差数列的前n项和公式1：Sn?n(a1?an) 2
n(n?1)d 22.等差数列的前n项和公式2：Sn?na1?
3.Sn?d2dn?(a1?)n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式 22
4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1） 利用an: 当an>0，d<0，前nan≥0，且an?1≤0，求得n当an<0，d>0，前nan≤0，且an?1≥0，求得n（2） 利用Sn：由Sn?d2dn?(a1?)n二次函数配方法求得最值时n22
二、例题讲解
例1 .求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和.
解：由2n－1＜60,得n＜6161,又∵n∈N* ∴满足不等式n＜的正整数一共有30个. 22
即 集合M中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以a1=1, a30=59,n=30的等差数列. ∵Sn=n(a1?an)30(1?59),∴S30==900. 22
答案：集合M中一共有30个元素，其和为900.
例2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2分析：满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*}
解：分析题意可得满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*}
由3n+2＜100,得n＜322,且m∈N*, ∴n可取0，1，2，3，…，32. 3
即 在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.
把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98.
它们可组成一个以a1=2,d=3, a33=98,n=33的等差数列.
由Sn=n(a1?an)33(2?98),得S33==1650. 22
答：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.
例3已知数列?an?,是等差数列，Sn是其前n项和，
求证：⑴S6，S12-S6，S18-S12成等差数列；
⑵设Sk,S2k?Sk,S3k?S2k （k?N?）成等差数列
证明：设?an?,首项是a1，公差为d
则S6?a1?a2?a3?a4?a5?a6
∵S12?S6?a7?a8?a9?a10?a11?a12
?(a1?6d)?(a2?6d)?(a3?6d)?(a4?6d)?(a5?6d)?(a6?6d)
?(a1?a2?a3?a4?a5?a6)?36d?S6?36d
S18?S12?a13?a14?a15?a16?a17?a18
?(a7?6d)?(a8?6d)?(a9?6d)?(a10?6d)?(a11?6d)?(a12?6d)
?(a7?a8?a9?a10?a11?a12)?36d?(S12?S6)?36d
?S6,S12?S6,S18?S12是以36d ∴∵
同理可得Sk,S2k?Sk,S3k?S2k是以kd为公差的等差数列.
三、练习：
1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.
分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.
解：根据题意，得S4=24, S5－S2=27
则设等差数列首项为a1,公差为d, 2
4(4?1)d?4a??241??2则 ?
?(5a?5(5?1)d)?(2a?2(2?1)d)?2711?22?
?a1?3解之得：? ∴an=3+2（n－1）=2n+1. d?2?
2．两个数列1, x1, x2, ……,x7, 5和1, y1, y2, ……,y6, 5均成等差数列公差分别是d1, d2, 求x?x2????x7d1与1d2y1?y2????y6
解：5＝1＋8d1, d1＝d147, 又5＝1＋7d2, d2＝, ∴1＝; 27d28
1?5＝21, 2 x1+x2+……+x7＝7x4＝7×
y1+y2+ ……+y6＝3×(1＋5)＝18,
∴ x1?x2????x77＝. y1?y2????y66
3．在等差数列{an}中, a4＝－15, 公差d＝3, 求数列{an}的前n项和SnSn 解法1：∵a4＝a1＋3d, ∴ －15＝a1＋9, a1＝－24,
3n(n?1)3512512
∴ Sn＝－24n＋＝[(n－)－], 22636
∴ 当|n－51|最小时，Sn最小， 6
即当n＝8或n＝9时，S8＝S9＝－108最小.
解法2：由已知解得a1＝－24, d＝3, an＝－24＋3(n－1),
由an≤0得n≤9且a9＝0,
∴当n＝8或n＝9时，S8＝S9＝－108最小.
四、小结 本节课学习了以下内容：?an?是等差数列，Sn是其前n项和，则Sk,S2k?Sk,S3k?S2k （k?N?五、课后作业：
1．一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.
解：由(n－2)·180＝100n＋
2n(n?1)×10， 2求得n－17n＋72＝0,n＝8或n＝9,
当n＝9时, 最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴ n＝8.
2．已知非常数等差数列{an}的前n项和Sn满足
10?m?3?2
解：由题设知 Sn2n(m?1)n2?mn(n∈N, m∈R), 求数列{a5n?3}的前n项和.
Sn＝lg(m
即 Sn＝[2?3?2n(m?1)n2?mn(m?1)n2?mn)＝lgm＋nlg3＋lg2, 52(m?1)mlg2]n2＋(lg3＋lg2)n＋lgm2, 55
∵ {an}是非常数等差数列，当d≠0，是一个常数项为零的二次式 (m?1)lg2≠0且lgm2＝0, ∴ m＝－1, 5
212 ∴ Sn＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n, 55
3 则 当n=1时，a1＝lg3?lg2 5
21当n≥2时,an＝Sn－Sn?1＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2) 55
41＝?nlg2?lg3?lg2 55
41∴an＝?nlg2?lg3?lg2 55
4 d=an?1?an=?lg2 5
41a5n?3=?(5n?3)lg2?lg3?lg2 55
11=?4nlg2?lg3?lg2 5
31lg2为首项,5d=?4lg2为公差的等差数列， ∴数列数列{a5n?3}是以a8=lg3?5∴
{a5n?3}的前n项和为
n·(lg3?31211lg2)＋n(n－1)·(?4lg2)＝?2n2lg2?(lg3?lg2)n 255
3．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d.
解：设这个数列的首项为a1, 公差为d，则偶数项与奇数项分别都是公差为2d的等
?12a1?66d?354?32, 解得d＝5. 差数列，由已知得?6a2?30d???6a1?30d27
解法2：设偶数项和与奇数项和分别为S偶，S奇，则由已知得
?S偶?S奇?354?S32,求得S偶＝192，S奇＝162，S偶－S奇＝6d, ∴ d＝5. 偶???S27奇?
4．两个等差数列，它们的前n项和之比为5n?3, 2n?1
解：a9a1?a17?b9b1?b1717(a1?a17)S8. ??17?'173S17(b1?b17)2
5．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110 解：在等差数列中，
S10, S20－S10, S30－S20, ……, S100－S90, S110－S100, 成等差数列，∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，
10S10＋10?9·D＝S100＝10, 解得D＝－22 2
∴ S110－S100＝S10＋10×D＝－120, ∴ S110＝－110.
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0，(1) 求公差d的取值范围；
(2) 指出S1, S2, S3, ……, S1212?11?S?12a?d?0?2a?11d?01?122??1 解：(1) ?, 13?12a?6d?0?S13?13a1?d?0?1
2?
∵ a3＝a1＋2d＝12, 代入得??24?7d?024, ∴ －<d<－3, 7?3?d?0
(2) S13＝13a7<0, ∴ a7<0, 由S12＝6(a6＋a7)>0, ∴ a6＋a7>0, ∴a6>0, S6最大.
六、板书设计（略）
七、课后记：
本文关键词：高中数学等差数列教案，由笔耕文化传播整理发布。
本文编号：245766
本文链接：https://www.wllwen.com/wenshubaike/jajx/245766.html
