医用高等数学2.1导数的概念

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医用高等数学

第二章
第一节
一、实例

一元函数微分学
导数的概念

二、导数的定义及导数的几何意义

三、可导与连续的关系

一、实例
1.变速直线运动的瞬时速度

设一质点沿直线做变速直线运动,其运动规律为

s ? s (t )
求时刻 t 0 的瞬时速度.

取一邻近于t 0的时刻t , 运动时间?t ,

?s s (t0 ? ?t ) ? s(t0 ) ? 平均速度 v ? ?t ?t
当 t ? t 0时, 取极限得

t 0 ?t t

s (t0 ? ?t ) ? s (t0 ) 瞬时速度 v ? lim v ? lim ?t ?0 ?t ?0 ?t

2. 细胞的增殖速度
设增殖细胞在某一时刻 t 的总数为 N ,显然 N是时间 t 的函数

N ? N (t )
求细胞在时刻 t 0 的瞬时增长率. 从 t 0 变化到 t0 ? t 这段时间内,细胞的平均增长率为

?N N (t0 ? ?t ) ? N (t0 ) ? ?t ?t 当 ?t ? 0时, 取极限得
N (t0 ? ?t ) ? N (t0 ) ?N lim ? lim 瞬时增长率= ? t ?0 ?t ?t ?0 ?t

二、导数的定义及导数的几何意义

, 定义2-1 设函数 y ? f ( x)在点 x0的某个邻域内有定义 相应地函数 y有增量?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ); 如果?y与?x 之比的极限

当自变量 x在 x0处有增量?x ( 点x0 ? ?x 仍在该邻域内 ) 时,

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 存在, 则称函数y ? f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为 函数 y ? f ( x)在点 x0处关于x的导数, 记为y? x ? x0 ,

f ?( x0 ),

dy dx

df ( x) x ? x0 , dx

x ? x0

.

即

y?

x ? x0

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?y ? lim ? lim ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x

由导数定义
变速直线运动的质点在时刻 t 0 的瞬时速度为 v ? s?(t0 ) 细胞在时刻 t 0 的瞬时增殖速度为 N ?(t0 ) 注意 若极限不存在,就称函数 f ( x)在点 x0 处不可导; 若不可导,且极限为无穷大,为方便起见,记为 f ?( x0 ) ? ?.也

称函数 f ( x) 在点 x0 处的导数为无穷大.

单侧导数
左导数 右导数
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ?? ( x0 ) ? lim? ? lim? ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ?? ( x0 ) ? lim? ? lim? ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

注意 函数在一点可导的充分必要条件为：

f ?' ( x0 ) ? f ?' ( x0 )
导函数
（1） 如果函数y ? f ( x)在开区间 (a, b)内的每一点

都可导 , 就称函数f ( x)在开区间 (a, b) 内可导 .

对 于 任 一x ? I , 都 对 应 着 f ( x) 的 一 个 确 定 的 导 数 值.这 个 函 数 叫 做 原 来 函 数 f ( x) 的 导 函 数 .记 作 y?, f ?( x), dy df ( x) 或 . dx dx

f ( x ? ?x ) ? f ( x ) 即 y ? ? lim ?x ? 0 ?x
f ?( x0 ) ? f ?( x)
x ? x0

很明显

（2）如果 f ( x ) 在开区间 ( a, b) 内可导,且 f ?? (a) 及 f ?(b) ? 都存在,就说 f ( x) 在闭区间 [a , b] 上可导.

例2-1 已知函数 y ? x ,求 y?
2

解 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ( x ? ?x) 2 ? x 2 ? 2 x?x ? (?x) 2

?y y? ? lim ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x ?x ?0 ?x ?x ?0
例2-2 已知函数 f ( x) ?

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ? 2 x ? ?x ?x ?x

x 求导函数 y?及 y? x?1

解

?y ? x ? ?x ? x

?y x ? ?x ? x ( x ? ?x ? x )( x ? ?x ? x ) 1 ? ? ? ?x ?x ?x x ? ?x ? x x ? ?x ? x

?y 1 1 y? ? lim ? lim ? ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? ?x ? x 2 x
y? x ?1 ? 1 2

例2-3 据1985年人口调查,我国有10.15亿人口,人口 平均年增长率为1.489％,根据马尔萨斯(Malthus)人口理 论,我国人口增长模型为

f ( x) ? 10.15e0.01489 x
其中，，x 代表年数 (0, 1, 2, ? ??) ,并定义1985年为这个模型 的起始年 x ? 0.按照此模型可以预测我国在2005年人口将 有13.6710亿.求我国人口增长率函数?怎样控制人口增长 速度？

解 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? 10.15e0.01489x (e0.01489?x ? 1)
0.01489?x ?y ( e ? 1) 0.01489x ? 10.15e ?x ?x 0.01489?x ?y e ?1 0.01489x lim ? 10.15e lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

? 10.15e

0.01489x

0.01489?x ( e ? 1 ? 0.01489?x) ? 0.01489

所以人口增长率函数为
0.01489x ? f ( x) ? 0.01489 ?10.15e

让人口年增长率0.01489变小,人口的增长速度就变小, 故可控制人口的增长.

导数的几何意义
切线：割线的极限

割线 MN绕点 M旋转而 趋向极限 位置MT, 直线MT 就称为曲 线在点M 处的切线.

y

NN N N T

M

o

x

设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y ).

y
y ? f ( x)

割线MN的斜率为

N
?y T

y ? y0 tan ? ? x ? x0
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ?x
当

C M
o
?
?

x0

?x x ? x0 ? ?x x

C N ?沿曲线 ?? ? ? M , ?x ? 0 所以

切线MT的斜率为

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) k ? tan ? ? lim ? f ?( x0 ) ?x ?0 ?x

所以导数的几何意义为:
f ?( x0 )表示曲线y ? f ( x)在点M ( x0 , f ( x0 ))处的切线的斜率tan?.

y
y ? f ( x)

T

M
o
?

x0

x

在( x0 , f ( x0 ))处的

切线方程为

y ? y 0 ? f ?( x 0 )( x ? x 0 ).

1 ( x ? x0 ) (f ? (x0 ) ? 0). 法线方程为 y ? y0 ? ? f ?( x0 )

(3,9)处的切线方程和法线方 程. 例2-5 求曲线y ? x2在点

y? x?3 ? 6 解 由例2-1有, y? ? 2 x ，
根据导数的几何意义, 得切线斜率为 k ? y? x?3 ? 6
故曲线y ? x2在点 (3,9)处的切线方程为
y ? 9 ? 6( x ? 3)

即 y ? 6x ? 9 ? 0

法线方程为
1 y ? 9 ? ? ( x ? 3) 6

即 6 y ? x ? 57 ? 0

三、可导与连续的关系
可导的函数一定是连续的．

证明 设函数 f ( x)在点x0可导 ,则
?y lim ? f ?( x 0 ) ?x ? 0 ? x

由极限与无穷小的关系
?y ? f ?( x0 ) ? ? 即 ?y ? f ?( x0 )?x ? ??x ?x

其中 ? ? 0 ( ?x ? 0)

? lim ?y ? lim [ f

?( x0 )?x ? ??x] ? 0
?x ?0 ?x ?0

?函数 y ? f ( x)在点x0连续.

反之不成立.即连续不一定可导．
比如 函数 f ( x) ? x 在x ? 0处连续但不可导
f (0 ? ?x) ? f (0) ?x ? 解 ? h ?x
y
y? x

f (0 ? ?x) ? f (0) ?x ? lim? ? lim ?1 ? ?x ?0 h ?0 ?x ?x
f (0 ? ?x) ? f (0) ? ?x lim? ? lim ? ?1 ? ?x ?0 h ?0 ?x ?x

o

x

即 f ??(0) ? f ??(0)

?函数y ? f ( x)在x ? 0点不可导 .

主要内容
1. 导数的定义与实质: 瞬时变化率
2. f ?( x 0 ) ? a ? f ?? ( x 0 ) ? f ??( x0 ) ? a

3. 导数的几何意义 4. 可导与连续的关系 不一定可导

切线的斜率 函数可导一定连续,但连续



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