医用高等数学2.3微分

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医用高等数学

第三节

微分

一、微分的概念
二、微分与导数的关系 三、微分的基本公式与法则 四、一阶微分形式不变性

一、微分的概念
1．面积改变量的大小 一块正方形金属薄片受温度变化的影响时,其边长由

x0 变化到 x0 ? ?x ,问此薄片的面积改变了多少?
x
?x

( ?x ) 2
?x

?S ? ( x ? ?x)2 ? x 2

x?x

? 2 x ? ?x ? (?x) 2
(1) ( 2)

S ? x2

x?x

x

(1) : ?x的线性函数 , 且为?S的主要部分 ; ( 2) : ?x的高阶无穷小 ,当 ?x 很小时可忽略 .

2. 自由落体运动路程的改变量
自由落体路程 s与时间 t 的关系是 当时间由 t 0变到时 t 0 ? ?t ,路程 s 有相应的改变量
1 2 s ? gt 2

1 1 2 2 ?s ? g (t 0 ? ?t ) ? gt 0 2 2 1 ? gt 0 ?t ? g (?t ) 2 2 (1)
( 2)

(1) : ?t的线性函数 , 且为?s的主要部分 ; ( 2) : ?t的高阶无穷小 ,当 ?t 很小时可忽略 .

面积改变量 ?S ? 2 x?x

路程改变量 ?s ? gt 0 ?t
(1) ( 2)

既容易计算 又是较好的 近似值

共性 函数改变量 ?y ? A?x ? o(?x)
(1) : ?x的线性函数 , 且为?y的主要部分 ; ( 2) : ?x的高阶无穷小 ,当 ?x 很小时可忽略 .

?y ? A?x
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函 数的改变量都有?它是什么?如何求?

定义2-2 设函数 y ? f ( x)在某区间内有定义,x0 及 x0 ? ?x在这区间内,如果函数的增量可表示为

?y ? A?x ? o(?x)
其 A 是不依赖于?x的常数,而 o(?x) 是比 ?x 高阶的无穷小, 那么称函数 y ? f ( x)在点 x0是可微的, A?x叫做函数 y ? f ( x) 在点 x0 相应于自变量增量 ?x 的微分,记作 dy x ? x0 ,即

dy

x ? x0

? A ? ?x

函数 y ? f ( x) 在任意点 记为 dy 或 df ( x)

x

处的微分,称为函数的微分,

dy ? A ? ?x

由定义知:

(1) dy是自变量的改变量 ?x的线性函数 ;
(2) ?y ? dy ? o(?x)是比?x高阶无穷小 ;

( 3) 当A ? 0时, dy与?y是等价无穷小 ; ?y o(?x) ? 1 ( x ? 0). ? 1? ? A ? ?x dy
(4) A是与?x无关的常数 , 但与f ( x)和x0有关;

(5) 当 ?x 很小时 , ?y ? dy (线性主部 ).

微分的几何意义

当?y是 曲线的纵坐 标增量时 , dy就 是 切 线 纵坐标对应 的增量 .

y
T N P
o( ? x )

y ? f ( x)
）

M

dy ?y

?x

o

?
x0

x0 ? ?x

x

当 ?x 很小时, 在点M的附近, 切线段 MP可近似代替曲线段 MN .

二、微分与导数的关系
函数 f ( x)在点 x0可微的充要条件是函 数 f ( x)在点 x0处 可导, 且 A ? f ?( x0 ).
即:

可导 ? 可微.

A ? f ?( x0 ).

证明 (1) 必要性 ? f ( x)在点x0可微 ?y o(?x) ? ?y ? A ? ?x ? o(?x) ? ? A ? ?x ?x ?y o(?x) 则 lim ? A ? lim ?A ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

即函数f ( x)在点x0可导 , 且A ? f ?( x0 ).

(2) 充分性 ?

函数f ( x)在点x0可导

?y ? lim ? f ?( x0 ) ?x ? 0 ?x
即
?y ? f ?( x0 ) ? ? ?x

从而 ?y ? f ?( x0 ) ? ?x ? ? ? (?x), ?? ? 0 (?x ? 0)
? f ?( x0 ) ? ?x ? o(?x)

?函数 f ( x)在点x0可微, 且 f ?( x0 ) ? A.

? dy ? A?x ? f ?( x)?x

通常把自变量x的增量?x称为自变量的微分 , 记作 dx, 即dx ? ?x.

? dy ? f ?( x)dx
的导数 . 导数也叫 "微商 ".

dy ? f ?( x) dx

即函数的微分 dy与自变量的微分 dx之商等于该函数
例2-29 求函数y ? x3 当 x ? 2, ?x ? 0.02时的微分 .

解

? dy ? ( x )??x ? 3x 2 ?x
3
?x ?0.02

? dy x?2

? 3x ?x x?2 ? 0.24
2 ?x ?0.02

三、微分的基本公式与法则
基本初等函数的微分公式

d (C ) ? 0 d (sin x ) ? cos xdx d (tan x ) ? sec2 xdx

d ( x ? ) ? ?x ? ?1dx d (cos x ) ? ? sin xdx d (cot x ) ? ? csc2 xdx

d (sec x ) ? sec x tan xdx d (csc x ) ? ? csc x cot xdx

d (a ) ? a ln adx 1 d (loga x) ? dx x ln a 1 d (arcsin x) ? dx 1? x2
x x

d (e ) ? e dx 1 d (ln x) ? dx x
x x

d (arccosx) ? ?

1 1? x2

dx

1 d (arctan x) ? dx 2 1? x

1 d (arc cot x) ? ? dx 2 1? x

函数和、差、积、商的微分法则

d (u ? v) ? du ? dv d (uv) ? vdu ? udv

d (Cu ) ? Cdu u vdu ? udv d( ) ? v v2

例2-30 设 y ? ln(x ? e ), 求dy.
解

x2

? y? ?

1 ? 2 xe x ? ex

x2

2

? dy ?

1 ? 2 xe x ? ex

x2

2

dx

例2-31 解

设 y ? e1?3 x cos x, 求dy.

dy ? cos x ? d (e1?3x ) ? e1?3x ? d (cosx)

? (e1?3x )? ? ?3e1?3x
?dy ? cos x ? (?3e
? ?e
1?3 x

(cosx)? ? ? sin x
)dx ? e
1?3 x

1?3 x

? (? sin x)dx

(3 cos x ? sin x)dx

四、一阶微分形式不变性
设函数y ? f ( x)有导数 f ?( x)
(1) 若x是自变量时 , dy ? f ?( x)dx;

(2) 若x是中间变量时 , 即另一变量 t 的可微函数 x ? ? (t ), 则

dy ? f ?( x)? ?(t )dt

?? ?(t )dt ? dx

? dy ? f ?( x)dx.

结论： 无论 x是自变量还是中间变量 , 函数 y ? f ( x)的微分形式总是 dy ? f ?( x )dx 微分形式的不变性

例2-32 设 y ? e
解

ax ?bx 2

, 求dy.
2

?y ? e
u

u

u ? ax ? bx

? dy ? (e )?du ? eu d (ax ? bx2 )
?e
例2-33
( ax ?bx 2 )

(a ? 2bx)dx

设 y ? ln(x 2 ? x ? 2), 求dy.

解

1 dy ? 2 d ( x 2 ? x ? 2) x ? x?2

2 x ?1 ? 2 dx x ? x?2

主要内容
微分的定义
微分的几何意义: 切线纵坐标的改变量 可导与可微的关系: 微分公式 可导 可微

一阶微分形式不变性

无论 x是自变量还是中间变量 ,

函数y ? f ( x )的微分形式总是 dy ? f ?( x )dx



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