勾股定理证明评监

  本文选题：勾股定理 + 证明　

导读：
　　勾股定理（又叫「毕氏定理」）说：「在一个直角三角形中，斜边边长的平方等於两条直角边边长平方之和。」据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过4000年！又据记载，现时世上一共有超过300个对这定理的证明！
　　我觉得，证明多，固然是表示这个定理十分重要，因而有很多人对它作出研究；但证明多，同时令人眼花缭乱，亦未能够一针见血地反映出定理本身和证明中的数学意义。故此，我在这篇文章中，为大家选出了7个我认为重要的证明，和大家一起分析和欣赏这些证明的特色，与及认识它们的历史背境。
　　证明一
　　
　　
　　图一
　　在图一中，DABC为一直角三角形，其中蠥为直角。我们在边AB、BC和AC之上分别画上三个正方形ABFG、BCED和ACKH。过A点画一直线AL使其垂直於DE并交DE於L，交BC於M。不难证明，DFBC全等於DABD（S.A.S.）。所以正方形ABFG的面积= 2 DFBC的面积= 2 DABD的面积= 长方形BMLD的面积。类似地，正方形ACKH的面积= 长方形MCEL的面积。即正方形BCED的面积= 正方形ABFG的面积+正方形ACKH的面积，亦即是 AB2+ AC2= BC2。由此证实了勾股定理。
　　这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以ML将正方形分成BMLD和MCEL的两个部分！
　　这个证明的另一个重要意义，是在於它的出处。这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。
　　欧几里得（Euclid of Alexandria）约生於公元前325年，卒於约公元前265年。他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，，并完成了着作《几何原本》。《几何原本》是一部划时代的着作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对後世数学发展产生深远的影响。而书中的第一卷命题47，就记载着以上的一个对勾股定理的证明。
　　证明二
　　
　　
　　图二
　　图二中，我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内，留意大正方形中间的浅黄色部分，亦都是一个正方形。设直角三角形的斜边长度为c，其余两边的长度为a和b，则由於大正方形的面积应该等於4个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和，所以我们有
　　(a+ b)2 = 4(1/2 ab) + c2
　　展开得 a2+ 2ab+ b2 = 2ab+ c2
　　化简得 a2+ b2 = c2
　　由此得知勾股定理成立。
　　证明二可以算是一个非常直接了当的证明。最有趣的是，如果我们将图中的直角三角形翻转，拼成以下的图三，我们依然可以利用相类似的手法去证明勾股定理，方法如下：
　　
　　
　　图三
　　由面积计算可得 c2 = 4(1/2 ab) + (b-a)2
　　展开得 = 2ab+ b2-2ab+ a2
　　化简得 c2 = a2+ b2（定理得证）
　　图三的另一个重要意义是，这证明最先是由一个中国人提出的！据记载，这是出自三国时代（即约公元3世纪的时候）吴国的赵爽。赵爽为《周髀算经》作注释时，在书中加入了一幅他称为「勾股圆方图」（或「弦图」）的插图，亦即是上面图三的图形了。
　　证明三
　　
　　
　　图四
　　图四一共画出了两个绿色的全等的直角三角形和一个浅黄色的等腰直角三角形。不难看出，整个图就变成一个梯形。利用梯形面积公式，我们得到

本文编号：1794667