纯净效应准则下几类部分因子设计的研究

发布时间：2020-08-25 07:55

【摘要】：因子试验(Factorial Experiment)在各个学科领域都有十分广泛的应用.一般地,假设一个变量y受到n个输入变量的影响,这些输入变量称为因子(Factor),因子所处的状态称为水平(Level).一个S1×…×sn 因子试验有n(≥1)个因子,每个因子的水平数分别为s1,...,sn(≥2).如果诸因子的水平数都相等,则称之为对称因子设计,否则称之为非对称因子设计或混合水平设计(Mixed-level Design).n个因子的任何一个水平组合称为一个处理.由于时间、经费等实际条件的限制,完全设计的试验在实际中往往不可行,试验者只能从所有水平组合中选择部分水平组合进行试验.完全因子设计的一部分称为部分因子设计(Fractional Factorial Design).在部分因子设计中,一个重要问题是用什么准则来选择一个“好的”部分因子设计.目前最常用的最优性准则包括最大分辨度(Maximum Resolution,简记为MR)准则、最小低阶混杂(Minimum Aberration,简记为MA)准则、纯净效应(Clear Effect,简记为CE)准则、最大估计容量(Maximum Estimation Capacity,简记为 MEC)准则、一般最小低阶混杂(General Minimum Lower-order Confounding,简记为 GMC)准则等.CE准则是Wu和Chen(文献[51]1992年提出的一个用于选择部分因子设计的最优性准则.在效应排序原则下,如果三阶及以上的交互效应可以忽略,则纯净的主效应和两因子交互效应(Two-factor Interaction,简记为2FI)可以估计.CE准则的研究内容主要有两个方面:一方面是研究设计包含纯净效应的条件,另一方面是构造包含最大数量纯净效应的设计.在试验中,若先验信息告诉我们,某些主效应和2FI很重要,为了尽可能多的估计这些重要效应,我们可以选择用CE准则选择最优设计.文献中关于CE准则的研究主要集中在二水平设计、同时包含四水平因子和二水平因子的混合水平设计、单区组变量的二水平分区组设计、二水平裂区设计和混合水平裂区设计包含纯净效应的条件等方面,而关于一般混合水平设计包含纯净效应的条件以及最大数目纯净效应的上、下界的研究还非常少.另外,对于多区组变量的分区组设计的纯净效应问题的研究完全空白.因此,本文针对这几类设计的CE准则下的最优设计展开研究,全文主要分为七章.第一章简要介绍本文的研究背景以及与本论文相关的一些基础知识.混合水平试验设计在物理试验和工业试验中有着广泛应用.目前为止,关于混合水平设计在CE准则下的研究主要集中在同时含有二水平因子和四水平因子的情况,而对于含有一般高水平因子的混合水平设计在CE准则下的相关理论还没有系统的研究,本文第二章对这类设计进行研究.第二章研究分辨度是Ⅲ和Ⅳ且有2k个水平组合的混合水平(2r)× 2n设计(含有n个二水平因子和一个2r水平因子)和(2r1)×(2r2)× 2n设计(含有n个二水平因子,一个2r1水平因子和一个2r2水平因子).对(2r)× 2n 设计,其两因子交互效应成分(Two-factor Interaction Compoment,简记为2FIC)分为两种类型,即不包含高水平因子成分的0型和包含高水平因子成分的1型.在2.2节我们证明了:如果n ≤ 2k㧟1-(2r-1),则存在包含纯净的0型和1型2FIC的(2r)× 2n设计;如果n≤2k-r-1,则存在分辨度是Ⅳ的(2r)× 2n设计包含纯净的2FIC;特别地,当 n= 2k-r-1时,如果分辨度是Ⅳ的(2r)×2n设计包含纯净的2FIC,则所有纯净的2FIC都是1型的.对(2r1)×(2r2)× 2n设计,其2FIC分为三种类型,即不包含高水平因子成分的0型,包含一个高水平因子成分的1型和包含两个高水平因子成分的2型.我们在2.3节证明了如下结果:如果n ≤ 2k-1-(2r1-1+2r2-1)且k≥ r1 + r2,则存在包含纯净2FIC的(2r1)×(2r2)× 2n设计;如果n≤2r2(2k-r1-r2 －1)且kr1 + r2,则存在分辨度是Ⅳ的(2r1)×(2r2)× 2n设计包含纯净的2FIC;而当n= 2r2(2k-r1-r2-1)时,如果一个分辨度为Ⅳ的(2r1)×(2r2)× 2n设计包含纯净的2FIC,则每一个纯净的2FIC都是1型或2型的.对于给定的水平组合数,当存在包含纯净2FIC的混合水平设计时,我们自然希望找到包含较多的纯净2FIC的设计.第三章主要给出了分辨度为Ⅲ和Ⅳ的8 × 4 × 2n设计纯净2FIC最大数的上界和下界,其中下界是通过构造含有较多纯净2FIC的设计给出的.对于有64个水平组合且分辨度为Ⅲ的8 × 4 × 2n设计,表3.1.1比较了纯净2FIC最大数的上界和下界.令nj = 2j +2k-j-12,当n = n3 = 4和n = n2 = 8时,纯净2FIC最大数的上界和下界相等;当n3n≤n2时,n的值越接近n2,上界αu(6,n,Ⅲ)和下界αl(6,n,Ⅲ)的差距越小.一般地,当nj+1n≤nj且n逼近nj时(j≥ 2),我们的构造结果是令人满意的.表3.2.1对有128个水平组合且分辨度为Ⅳ的8 × 4 × 2n设计纯净2FIC最大数α(7,n,Ⅳ)及其下界αl(7,n,Ⅳ)进行了比较,结果显示二者差异不大,这说明我们构造的设计是令人满意的.在很多实际试验中,试验单元之间的相似性很难保证.分区组是处理这类试验的常用方法,也是试验设计的基本原则之一.分区组设计的研究最初源于农业试验,之后在工业、医药等领域都有广泛应用.分区组设计的因子分为处理因子和区组因子两类,试验者关心的是处理因子效应是否显著.根据划分区组的因子数量,分区组设计又分为单区组变量的分区组设计和多区组变量的分区组设计两类.目前,对对称设计的单区组变量问题的研究成果较为丰富,但是对非对称设计,即混合水平设计的分区组问题研究成果很少,对多区组变量问题的研究成果也非常少.第四章讨论单区组变量的混合水平设计.假设有2k个水平组合的(2r)× 2n混合水平设计被一个具有2l个水平的区组变量分成2l个区组,记为(2r)×2n:2l分区组设计.分辨度至少是Ⅲ的(2r)× 2n:2l设计包含纯净处理2FIC的充分必要条件是n ≤ 2k-1-(2r-1)且l+r ≤k.当l≥ r 时,分辨度至少是 Ⅳ 的(2r)× 2n:2l 设计包含纯净处理2FIC的充分必要条件是k-lr且n ≤ 2k-l-2r.第五章和第六章研究多区组变量分区组设计在CE准则下的理论问题.我们用符号2n-m:2l表示有l个区组变量的二水平分区组设计.第五章首先给出多区组变量的2n-m:2l分区组设计的分辨度和纯净效应的概念,然后给出分辨度是Ⅲ、Ⅳ-和Ⅳ的多区组变量的2n-m:2l分区组设计包含纯净处理主效应和2FI的充分必要条件.注意到2n-(n-k)设计的2k-1个别名集和饱和设计Hk中所有2k-1 列的一一对应关系,我们把Hk中的列分成M类、C类、UC类和φ类,由此提出了构造分辨度是Ⅳ的包含最大数量纯净处理2FI的2n-m:2l分区组设计的算法,并给出设计表.第六章把第五章中纯净效应的思想推广到混合水平的多区组变量分区组设计.我们用符号(2r)× 2n:2l表示有一个2r水平处理因子和n个二水平处理因子并且有l个区组变量的混合水平的多区组变量分区组设计.本章给出了分辨度是Ⅲ、Ⅳ和Ⅳ的多区组变量的(2r)× 2n:2l混合水平分区组设计包含纯净的处理2FIC的充分必要条件,讨论了包含较多纯净处理2FIC的该类设计的构造方法,并构造了具有32个水平组合的分辨度为Ⅲ的包含最大数目纯净处理2FIC的4 × 2n:2l设计和分辨度至少为Ⅳ-的包含纯净处理2FIC的4 × 2n:2l设计.第七章对全文内容作出总结,提出了几个值得进一步研究的问题.
【学位授予单位】：曲阜师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：C81

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