期权定价问题的有限差分方法探究

发布时间：2020-03-22 01:40

【摘要】：本文主要研究期权定价问题的有限差分方法,分两方面考虑:一是B-S期权定价的有限差分法,二是带交易费用期权定价的有限差分法。 针对B-S期权模型,主要采取混合差分的格式进行离散化。首先将B-S方程等价代换为标准的抛物型偏微分方程,然后对时间变量采用向前差商和向后差商,对空间变量采用五点差分格式,同时引入? ,将原偏微分方程离散为一个稳定的混合差分格式。经分析,该算法的截断误差是o ( h 4? k),跟其他数值方法相比,精度明显提高了。本文还运用Fourier分析方法给出了该混合差分格式稳定性和收敛性的证明。最后,通过一个数值实验证明了该数值方法的可行性。跟其他数值方法比较,该方法相对误差明显减少且呈现出一定的规律,即到期时间越长相对误差越小,这说明该算法更适合到期日较长的期权定价。实验还表明,期权的价格跟?的取值呈一定的相关性,?越小相对误差越小且当?取值为零时相对误差达到最小。此时的混合差分格式就演变为一个显式差分格式,形式更简单,也更易于求解。因此,该数值方法是一个有效的可行的方法。 针对带交易费用的期权模型,对原生资产变量同样采用五点差分格式。由于该模型中引入了修正波动率,因此在稳定性与收敛性的证明中遇到了障碍。但这并不影响该数值方法的可行性,因为数值实验表明该算法得到的期权价格走势与现实金融世界的结果是相吻合的。
【图文】：

我们可以看到，两种方法所得结果的误差走势不同。随着到期时间用混合差分法得到的结果误差有越来越小的趋势，而二阶微商三次样条方相对误差走势却没有明显的规律。另外，观察图 3.1 知，混合差分方法得到式期权价格的误差最大，而 12 月期的误差最小，这说明，此方法更适用较长的期权定价。而用二阶微商三次样条方法得到的结果误差没有显示出律，，3 月期跟 12 月期的期权价格误差都较小，而 6 月期和 9 月期的期权价大，看不出误差走势。因此，本文所用方法更具有一定的金融指导意义。文的混合差分格式运用起来更加方便，而众所周知，三次样条方法运用起琐一些。价格数值解与解析解的对比分析五点数值微分公式方法计算得到的 3，6，9，12 月期欧式看涨期权价格与析解得到的精确值比较，并做图可得：图 3.2

总体上看来，期权价格随标的资产价格上涨而上升，且有以下规1) 标的资产价格在敲定价格附近时期权价格增长非常缓慢，这是因为受交用的影响买方若在此时行权不一定盈利。2) 标的资产价格远离敲定价格时期权价格变化几乎是线性的，这是因为此权的盈利能力非常明显。3) 当标的资产价格远大于敲定价格时，期权价格与标的资产价格很接近；的资产价格小于执行价格时，买权价值为零。上结论均与金融市场世界相吻合，因此可间接证明该算法的可行性。小结章主要给出了带比例交易费用的情况下欧式看涨期权定价模型的数值解，模型是改进后的 Leland 模型，也即 Hoggard,Whalley,Wilmottd 建立的带交
【学位授予单位】：华中科技大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2010
【分类号】：F224;F830.9

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本文编号：2594258