18基于SOLO分类理论的数学教师数学史素养水平划分20

发布时间：2016-10-18 17:15

本文关键词：基于SOLO分类理论的数学教师数学史素养水平划分，由笔耕文化传播整理发布。

第21卷第1期；2012年2月；数学教育学报；JOURNALOFMATHEMATICSEDUC；Vol.21,No.1；Feb.,2012；基于SOLO分类理论的数学教师数学史素养水平划分；李国强，徐丽华；（杭州师范大学初等教育学院，浙江杭州310018；摘要：数学史的教育价值日益凸显，但数学史在教学中；关键词：数学教师；数学史素养；素养水平；水平划分；中图

第21卷第1期

2012年2月

数学教育学报

JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION

Vol.21, No.1

Feb., 2012

基于SOLO分类理论的数学教师数学史素养水平划分

李国强，徐丽华

（杭州师范大学初等教育学院，浙江杭州 310018）

摘要：数学史的教育价值日益凸显，但数学史在教学中的作用远未发挥，关键原因是数学教师的数学史素养普遍不高．重视数学教师数学史素养的研究和提升成为当务之急．根据SOLO理论，可把数学教师的数学史素养划分为5个水平．维果斯基的概念形成理论有助于从心理学角度揭示数学教师数学史素养提升的内在机制．数学教师数学史素养水平划分及相关研究，可以丰富数学教师专业素养的理论内容，为提升数学教师的数学史素养提供参考．

关键词：数学教师；数学史素养；素养水平；水平划分

中图分类号：G451 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2012）01–0034–04 当前，“数学史与数学教育（HPM）”是国际数学教育研究的热点论题[1~3]．中国数学课程标准关注数学史，旨在把数学史引入数学课堂．可见，数学史的教育价值日益凸显．然而，数学史在教学中“高评价、低运用”的现象普遍存在．调查显示，中国数学教师的数学史素养普遍偏低是其关键因素[4]．要提升数学教师的数学史素养，首先应从理论上对不同层次的数学史素养进行水平划分，以此确定提升的路径和目标．文章拟从SOLO分类理论的视角探讨数学教师数学史素养的水平划分，以期为深入了解当前数学教师数学史素养的现状和制定更具针对性的提升策略提供参考．

立体、系统的发展过程．比格斯认为学生学习能力的提高是一个从量变到质变的过程，前3个层次主要是基础知识的积累，后两个层次主要是理论思维的飞跃，但要实现思维能力的突破，离不开基础知识的积累．

2 数学教师数学史素养的水平划分

不难发现，不同教师的数学史素养存在较大差异．例如，对于勾股定理，有的教师仅把它看作一个抽象枯燥的数学结论；而有的教师更了解历史上勾股定理的来龙去脉和生动有趣的奇闻轶事；还有的教师不仅能把勾股定理置于古今东西方文化之中，还能把相关史料有机地融入数学教学，既提高了学习效果，又让学生感受到多元文化的魅力和学习数学的价值．对于不同水平的数学史素养，应该如何划分呢？文章从划分维度、各水平特点及相关解释作如下探讨．

2.1 水平划分的两个维度

2.1.1 数学教师数学史素养的3个要素

数学史素养是数学教师专业素养的重要组成部分，是数学教师全面了解数学，优化数学知识结构，提高数学教学能力的重要基础，也是搞好数学教学的重要保证．数学教师的数学史素养不同于数学史学家，它是为数学教学服务，并非纯粹研究数学史．该素养涉及3个要素：对数学史的认识、了解的数学史知识、教学中运用数学史的能力．综合考虑数学教师在3个要素上的表现，按照由片面到全面、由肤浅到深入的原则进行水平划分． 2.1.2 HPM教学的两个层面

数学课堂教学的重要任务是促进学生数学认知的发展．研究课程标准，挖掘教科书精髓，提炼数学知识逻辑关系，是教师促进学生数学认知的基础工作．数学史进入数学课堂，为促进学生认知增添了新的渠道，数学教学将变得更加丰富、生动和有效．引入数学史的数学教学，称之为HPM教学．这种教学在注重数学知识逻辑的同时，又关注数学史料的运用，所以，把数学知识逻辑、数学史料作为数学史素养水平划分的另一维度．

2.2 数学教师数学史素养的5个水平

根据SOLO理论，依据上述两个维度，可把数学教师

1 SOLO分类理论简述

SOLO分类理论是香港大学教育心理学教授比格斯（J. B. Biggs）首创的一种学生学业评价方法．“SOLO”是英文“Structure of the Observed Learning Outcome”的缩写，意为：可观察的学习结果的结构．

SOLO分类理念是一种以等级描述为特征的质性评价方法．比格斯认为任何学习结果的数量和质量都是从具体到抽象，从单维到多维，从组织的无序到有序．他把学生对某个问题的学习结果由低到高划分为5个层次：前结构、单点结构、多点结构、关联结构和抽象拓展结构[5~6]．含义如下：

（1）前结构层次（prestructural）：指的是没有形成对问题的理解，只提供了一些逻辑混乱、没有论据支撑的答案．

（2）单点结构层次（unistructural）：是指找到了一个解决问题的思路，但却就此收敛，单凭一点论据就跳到答案上去．

（3）多点结构层次（multistructural）：是指找到了多个解决问题的思路，但却未能把这些思路有机地整合起来．

（4）关联结构层次（relational）：是指找到了多个解决问题的思路，并且能够把这些思路结合起来思考．

（5）抽象拓展层次（extended abstract）：是指能够对问题进行抽象概括，从理论的高度分析问题，而且能够深化问题，使问题本身的意义得到拓展．

从上述分类法中可以看到，比格斯提出的分类结构是一个由简单到复杂的层次类型，具体说来就是从点、线、面、

收稿日期：2011–08–28

基金项目：杭州师范大学科研经费启动项目——数学教师数学史素养的理论与实践探讨（2011QDW215）作者简介：李国强（1972—），男，山东邹城人，博士，主要从事数学史与数学教育、教师教育研究．

第1期李国强等：基于SOLO分类理论的数学教师数学史素养水平划分 35

的数学史素养划分为与SOLO对应的5个水平．综合杨克（H. N. Jahnke）的诠释学理论与台湾苏意雯的相关研究[7]，对这5五个水平分别介绍如下（图中虚线表示两者之间已有联系，但还十分欠缺）：

第0水平（前结构层次）（如图1）：教师缺乏数学史意识，对数学史知识及数学史在数学教学中的作用毫无知晓，教学中从不利用数学史．此水平的教师可以说全无数学史素养．教师的教学主要借助数学知识逻辑关系（这里不排除做游戏、做实验等与数学史无关的手段）促进学生的数学认知，

第3水平（关联结构层次）（如图4）：教师拥有局部的数学史知识，对教学中数学史的作用已有较深刻认识，认识到数学史可以促进学生对数学知识的理解、有利于形成良好的人格和精神等（图中虚线加粗）．对于特定单元（如勾股定理等），了解较丰富的数学史知识，教学设计时能从数学知识逻辑与数学史料两个面向促进学生数学认知，能较好地把数学史融入数学教学（图中虚线加粗）

．但由于教师数学图1 数学教师数学史素养第0水平

第1水平（单一结构层次）（如图2）：教师已具备少量数学史知识（图中用虚线表示），但认为数学史与数学教学无关，在教学中不使用数学史．教师虽对数学史有所了解，但仍是借助数学知识逻辑关系促进学生的数学认知，不触及

．

图4 数学教师数学史素养第3水平

第4水平（抽象拓展层次）（如图5）：教师拥有较广博的数学史知识，对数学史的作用已有深刻认识．HPM教学不再局限于特定章节，整个教学都从数学知识逻辑、数学史料两个层面考虑促进学生的数学认知，对于课程内容与HPM的适切性已有全面了解，教学中能够高效地发挥数学史的作用．HPM教学已成为一种教学观念，一种教学意识．如图5所示，图5与图4的不同之处在于左右两圈的扩大，表明教师实施HPM教学的章节不断拓展，对HPM教

学的理解与实践能力也有很大提高．这一水平应是数学教师图2 数学教师数学史素养第1水平

第2水平（多点结构层次）（如图3）：教师已具备局部的数学史知识．对数学史在教学中作用的认识还比较肤浅，仅停留于提高学生的学习兴趣的低层次上（图中用虚线表示）．在某些章节教学时偶尔运用数学史，其方法或是直接提供史料文本，或是讲数学史故事、作数学史报告等，数学逻辑与数学史料未能有机整合，数学史的讲授与数学知识的

教学可谓泾渭分明．由于不能较好地两者兼顾，经常是顾此图5 数学教师数学史素养第4水平

由上可知，数学教师数学史素养的五个水平与SOLO分类理论的5个层次是相互对应的，其关系可由图6表示：

3 数学教师数学史素养水平提升的心理学解释

若从动态的角度来看，上述5个水平可看作HPM视角下数学教师专业发展过程中的5个阶段．与SOLO分类理论相似，整个过程也是一个从量变到质变的过程，前3个水平主要是数学史素养三要素、HPM教学两层面的积累与扩

展，而后两个水平主要是三要素的深化与三层面的整合及飞跃．

这一过程的发展机制可用维果茨基（Vygotsky）的概念

图3 数学教师数学史素养第2水平

发展理论解释[7]．维果茨基认为在社会性学习环境中，抽象概念的学习乃是个人自发性概念（spontaneous concept）和要学的科学概念（scientific concept）之间的连结过程．所谓

36 数学教育学报第21卷

自发性概念，它来自于个人的实际经验，是自然形成的，不是别人刻意教的概念．至于科学概念则是指学习活动试图形成的概念．自发性概念和科学概念可以看作概念形成的两极，即起点和终点．自发性概念相对于科学概念是低水平的，

SOLO分类理论中的层次划分主要特点

没有形成对问题的理

解．

5个层次

但是，自发性概念是形成科学概念的基础．数学教师从数学史素养的现有水平提升到第4水平，实际上就是形成HPM概念的过程．教师的现有素养水平即处于自发性概念阶段，HPM概念即为要最终形成的科学概念．

数学教师的数学史素养水平划分

5个水平

主要特点

不了解数学史，教学不用数学

史．

具备少量数学史知识，仅从数学逻辑促进学生认知，不触及数学史．

某些章节偶尔运用数学史，但数学史与数学知识分离，未能有机整合．

对于特定章节，能较好地把数学史融入数学教学．

整个教学中能够高效地发挥数学史的作用．HPM教学已成为一种教学观念，一种教学意识．

前结构层次第0水平

找到一个解决问题的思

路．单点结构层次

第1水平

找到多个解决问题的思多点结构层路，但未能有机地整合．次找到多个解决问题的思路，并把这些思路相结合．

能对问题抽象概括，从理论的高度分析问题，深化问题，使问题意义拓展．

第2水平

关联结构层次

第3水平

抽象拓展结构层次

第4水平

图6 SOLO分类理论中的5个层次与数学教师数学史素养的5个水平对比

维果茨基认为在概念形成的初始阶段，“积累”（heap）起着重要作用．在教师HPM概念化过程中，从数学史素养的第0水平发展到第2水平，教师的数学史知识不断增多，对数学史的认识逐步加深，在教学中，由想不到数学史，发展到尝试运用数学史．在这阶段，教师数学史素养水平提升主要表现为3个要素在容量、深度上的不断“积累”．

概念形成的第二个主要方面，是由思维的变化组成．维果茨基认为这些思维主要包括联想（associative type）、聚集（collections）、链结（chain）、扩散（diffuse）、拟概念（pseudoconcept）等，他把这5种思维合称为复合思维．复合思维在某种程度上揭示了教师从数学史素养的第2水平发展到第3水平的心路历程．

“联想”是指根据相似性或事物之间知觉上的联系而把某些事物看做一个整体．教师的数学史知识增加到一定程度，便逐步确定了数学史的含义：不论是数学家传记、数学思想发展、著名定理的来源剖析及证明思維、数学史料文本的呈現、科普书籍介绍等，不管是原始典籍，或第二手文献，都可列入数学史的范畴；至于“聚集”，是以实际经验中观察到的物体之间的关系为基础，把相关方面联系在一起．随着教学中运用数学史经验的增加，教师逐渐领会到HPM教学的数学逻辑、数学史料两个层面在促进学生数学认知上的相关性；其后的“链结”，代表的是一种动力的、连贯的连结，也就是将个别的环节连接成一个的链条．教师了解HPM教学的两个层面后，将会在教学设计、课堂教学乃至课后反

思的整个教学过程中去体会、实践、反思两个层面的融合效果；“扩散”意味着把某些要素联合起来的那种属性是流动的．随着HPM教学的实施与教学后的心得反思，教师对数学史的认识不断加深，在总结经验的基础上，逐步把握某特定单元的HPM教学；维果茨基根据其所做的实验认为上述4种思维的复合是一种阶段性的发展，最后达到“拟概念”阶段，这在复合思维和真正概念（HPM概念）形成间扮演着转化联系的桥梁角色，此时已具有相当程度的一般化．

要形成科学概念，维果茨基认为还需有“抽象化”的过程．“抽象化”是一种从具体思维中抽离出概念属性的历程，维果茨基也称之为內化（internalization）．参照数学史素养第3水平向第4水平的发展过程，，教师把在某特定章节获得的HPM教学经验尝试运用到其他单元时，逐渐领会HPM的精神，体会到数学史融入数学教学可以拓展教学方式，让教师和学生都能获益，也愿意拓展 HPM教学至教科书各个单元．随着数学史知识的丰富，经验的积累，教师对数学史有了更深刻的认识，也清楚教材中各单元在数学史层面上所应施行的份量和学生的接受程度等．当教师自身对于HPM胸有成竹，针对任何教学单元都能进行高效的HPM教学时，教师也就形成了HPM概念．

综上所述，教师从数学史素养的第0水平提升为第4水平形成HPM概念的过程，主要经历了积累、复合思维（联想、聚集、链结、扩散、拟概念）、抽象化3个阶段．这也是自发性概念到科学概念的一般发展历程．其过程用图7

第1期直观表示：

李国强等：基于SOLO分类理论的数学教师数学史素养水平划分 37

个阶段．从这个意义上讲，该研究为数学教师数学史素养的提升提供了一个发展规划或努力方向．特别是数学教师数学史素养水平提升的心理学解释，更为素养提升提供了心理学方面的依据．本文还只是一种尝试性探索，有待深入研究．希望有更多的学者关注数学教师的数学史素养，出现更多的、高质量的研究成果．

借鉴SOLO分类理论，从数学教师数学史素养的三个要素和HPM教学的两个层面，把数学教师的数学史素养划分为5个水平，不仅是对SOLO分类理论的推广，也是SOLO分类理论在教师素养方面的应用．数学教师数学史素养的5个水平，也可以理解为数学教师数学史素养提升过程中的5

图7 数学教师数学史素养提升的心理学解释

［参考文献］

[1] 汪晓勤，张小明．HPM研究的内容与方法[J]．数学教育学报，2006，15（1）：16-18． [2] 徐章韬，梅全雄．HPM视角下的数学教材编写[J]．数学教育学报，2009，18（3）：14-17．

[3] 朱凤琴，徐伯华．HPM作为“教与数学对应”中介的理解和认识[J]．数学教育学报，2009，18（3）：18-20． [4] 李红婷．课改新视域：数学史走进新课程[J]．课程·教材·教法，2005，（9）：51-54． [5] SOLO分类理论[Z]．

[6] 陈蓓．利用SOLO分类法探究学生函数概念理解水平[J]．数学教育学报，2009，18（2）：35-38．

[7] 苏意雯．数学教师专业发展的一个面向：数学史融入数学教学之实作与研究[D]．台湾师范大学数学系，2005．

Discussion on Level of Mathematics Teachers’ Quality in History of Mathematics Based on the

Evaluation Theory of SOLO Classification

LI Guo-qiang, XU Li-hua

(School of Primary Education, Hangzhou Normal University, Zhejiang Hangzhou 310018, China)

Abstract: The value of mathematical history in education is becoming increasingly prominent, but the function of mathematical history isn’t brought well into play in mathematics class, the key cause is teachers’ quality in history of mathematics low. So the urgent task is researching and advancing the teachers’ quality in mathematical history. According to the Evaluation Theory of SOLO Classification, we classify teachers’ quality in mathematical history into 5 levels. The theory about concept coming into being by Vygotsky can explain the advance of teachers’ quality in mathematical history. The researches above can’t only enrich theory of teachers’ quality, but also offer reference for advancing teachers’ quality in mathematical history. Key words: mathematics teacher; quality in mathematical history; level of quality; classification

[责任编校：周学智]

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