保险风险理论中的破产和分红问题

发布时间：2018-11-21 16:31

【摘要】：计算破产概率等相关的精算量是经典风险理论中最为关心的问题之一。从Lundberg时期至今,它一直都是一个很活跃的研究领域。此外,破产理论在其他应用概率领域具有广泛的应用,例如排队论和数理金融(障碍期权、信用产品的定价等)。因此,破产理论在现代风险理论中仍然具有非常重要的作用。分红作为另一个重要的准则首先由De Finetti [19]提出。在该文中,他主要考虑一个简单离散模型下的直到破产前的期望折现累计分红量,并发现最优的分红策略是一个边界策略。从此,一大批学者开始研究各种更加一般和更加实际的模型下的(带有一个常数边界的)分红问题。我的博士论文也致力于研究某些风险模型下的破产和分红问题。它主要包含两类问题：一类是连续时间模型下的某些与破产和分红相关的最优随机控制问题(见第2和3章),另一类是某些离散时间模型下的破产和分红问题(见第4-6章)。动态随机优化起源于具有不确定性的决策问题,它在保险、金融、经济和管理领域具有广泛的应用。随机优化问题的目标一般是为了寻找最优的控制(决策)过程和相应的最优目标函数。保险学和随机控制理论相结合的文献经历了很长一段时间才得以出现,最初的文献为Asmussen and Taksar [5]和Browne [8]。从此以后,有一系列的文献利用动态规划原理和HJB方程的方法来解决保险中的最优控制问题。这个领域的核心问题包括保险公司的最优再保险、最优投资和最优分红问题。其中,大部分都是考虑扩散模型和经典风险模型。为了降低自身的风险,保险公司通常会购买适量的再保险。为了数学上的方便,大多数文献都假定保费是按照期望值原理来收取的。但是,均值相同的两个风险之间的差异可能很大,那么对它们所收取的保费也应该不同。因此,期望值原理有时未必合理。另一方面,被称为零效用准则的指数保费原理在保险数学和精算实务中都发挥着重要作用。它具有很多好的性质并且被广泛应用于数理金融中的保险产品定价,见Musiela and Zariphopoulou [62], Young and Zariphopoulou [85], Young [84]和Moore and Young[61]。因此,我们也对指数保费原理下的某些最优控制问题感兴趣,见第2和3章。在指数保费原理下,保险公司的风险控制是非线性的,它使得所考虑的问题比期望值原理下的相应问题更复杂。为了简单起见,本文假设保险公司购买的是比例再保险。在第2章中,我们考虑一个扩散模型下的最优分红问题。该控制的扩散模型是通过对具有比例再保险的经典风险模型扩散逼近得到的,其中再保险的保费是按照指数保费原理来计算的。Zhou and Yuen [90]在方差保费原理下考虑了类似的最优分红问题。他们得到了一些与L(?)kka and Zervos [55](其中再保险保费按照期望值原理来计算)中不一样的结果。我们所考虑的问题是比Zhou and Yuen [90]中更复杂的非线性随机控制问题。此外,Zhou and Yuen [90]中只考虑了便宜再保险,而我们同时考虑了非便宜再保险和便宜再保险两种情形。本章的目标是最大化直到破产前的期望折现分红量。对分红率有界和无界两种情形,我们都得到了值函数和相应的最优策略的解析表达式。对无界分红率情形(非便宜再保险和便宜再保险),最优分红策略是一个边界策略,并且最优再保险和最优分红策略具有相同的阀值。这些结果与Zhou and Yuen [90]中的类似。但是,对分红率为有界(界为M)的情形,本文中非便宜再保险情形下的结果与Zhou and Yuen [90]中有所不同。Zhou and Yuen [90]指出最优分红策略总是门槛分红策略,且当盈余达到该门槛之后保险公司的自留水平保持不变(即使盈余不断增加)。但是在本文中,该情况只对充分大的M才成立,具体的见2.4.1小节。而对比较小的M,本文的结果表明,最优的分红策略是始终按最大分红率进行分红,且最优的再保险比例始终是一个常数。最后,我们在第2.5节给出了一个数值例子,它阐释了α(再保险公司的风险厌恶)对最优值函数和保险公司自留水平的影响。我们从中发现,随着a的增大,它对值函数的影响越来越小；当盈余较小时,自留水平随α的增大而增大,然而当盈余较大时情况却比较复杂。在第3章中,我们考虑保险公司的最优投资和比例再保险问题,其中保险公司的业务由一带扩散扰动的经典风险过程来刻画。对经典风险模型,破产概率的解析表达式通常无法得到。然而,由Cramer-Lundberg渐进公式和Lundberg不等式知道,破产概率与调节系数密切相关。因此,在带扩散扰动的经典风险模型下,我们也着重考虑再保险对调节系数的影响。我们假设资产可以被投资于一个风险资产和一个无风险资产。除了投资,我们允许保险公司购买适当的再保险以减少自身的风险。值得一提的是,对于最大化调节系数,我们并没有将策略集限制于常数策略类,这与绝大多数文献都不同,例如Liang and Guo [51], Centeno [10], Hald and Schmidli [32], Centeno and Guerra [11]和Guerra and Centeno [30]我们首先研究最大化终端财富指数效用的问题,然后将所得的结果应用于最大化调节系数的问题中。对上述的两个问题,通过解相应的HJB方程,我们都得到了最优值函数和相应最优策略的解析表达式。此外,我们证明了最大的调节系数及其相应的最优策略都是a(再保险公司的风险厌恶)和β(保险公司的不确定因素)的严格单调函数。在第3.4节中,我们还给出了破产概率的一个上界。此外,我们应该注意的是,Hald and Schmidli [32]中的方法对本文不适用。然而,用我们的方法却可以得到Hald and Schmidli [32]中的定理1。马氏调节风险模型,由于其盈余过程受一环境马氏链的影响,它能更好的捕捉保单依赖于环境的特征,例如受天气、经济和政治等环境的影响。因为它比经典风险模型更加贴近现实,近年来受到越来越多的关注。在马氏调节风险模型中,保费、索赔额大小和索赔数过程在给定环境马氏链下通常都假定是(条件)独立的,即它们都只依赖于马氏链的当前状态。然而,在某些应用中这种(条件)独立的假设有点太强了。Janssen and Reinhard [41]首先提出了一种半马氏相依结构,其中索赔额大小和索赔时间间隔不仅依赖于环境马氏链的当前状态还依赖于下一步要转移到的状态。接着,Reinhard and Snoussi [65,66]研究了一个离散时间的半马氏风险模型,其中假定索赔额大小之间是自相关的且受一有限状态马氏链的影响。在该文中,他们对索赔额的分布做了一个严格限制,并在此情形下得到了破产前盈余和破产赤字的联合分布的递推公式。然而,如果我们把这个严格限制去掉的话将会出现怎样的情况呢?我们发现,如果对索赔额的分布不加限制,所研究的离散时间半马氏模型包含了多个已有的风险模型,如(带时间相依索赔的)复合二项模型和(带时间相依索赔的)复合马氏二项模型。在第4章中,我们研究了离散时间半马氏风险模型下的期望折现分红问题。在第4.3节中,我们首先考虑了Reinhard and Snoussi [65,66]中所描述的那种特殊情况。借助Reinhard and Snoussi [65,66]的方法,并充分利用边界分红策略的边界条件,我们得到了m个状态模型下的直到破产前期望折现分红的矩阵形式的表达式。接着,在第4.4节中,我们在一般模型(即索赔额分布不加任何假设)下考虑了同样的问题。由于4.3节中所用的方法不适用于一般情形,我们在第4.4节中采用了一个新的方法。利用生成函数的方法,并结合差分方程理论以及边界分红策略的边界条件,我们在2个和3个状态模型下也都给出了直到破产前期望折现分红的矩阵形式的表达式。我们的方法可以适用于包含任意个状态的模型,然而,这样的推广将会使得推导过程变得极其复杂和冗长。在本章的结尾,我们给出了一个数值例子(满足4.3节中的限制条件),从中证实了利用两种不同方法所得的结果是一致的。通过这个例子,我们也注意到使得期望折现分红量Vi(u,b),i=1,2,达到最大的最优分红边界b*不仅依赖于初始状态i,还依赖于初始盈余u和折现因子v。在第5章中,我们在第4章所叙述的模型下考虑了保险公司的生存概率。为了保证保险公司不会必然破产,在这一章里我们假设正安全负荷条件成立。即使对m=2的情形,Reinhard and Snoussi [65,66]中所采用的方法对本文也无法适用,所以我们也必须采用一个新的方法。利用生成函数的方法,我们得到了两状态模型下生存概率φi(u)的递推公式,它根据索赔额分布的情况分为两种情形。得到φi(u)的递推公式后,我们还必须确定两个初始值Φi(0),i=1,2.只有这样,我们才能利用之前所得到的递推公式进行计算。在第4章中,我们充分利用了边界策略的边界条件得到了期望折现分红的初始值。然而,这个方法在本章已不再适用。为了得到φ1(0)和φ2(0),我们必须想方设法找到两个与他们相关的方程,见第5.3节。另一方面,由于我们所考虑的模型包含了多个已有的离散时间模型,如(带时间相依索赔的)复合二项模型和(带时间相依索赔的)复合马氏二项模型,本章的结果推广了这些模型下破产概率的研究,具体的见第5.4节。最后,我们给出了几个数值例子来说明我们的结果。在第6章中,我们研究了一个离散时间的NCD风险模型,它包含了汽车保险业中著名的无赔款优待折扣系统(或奖惩系统)。该系统通过收取附加费惩罚出事故的投保人,而对无索赔的投保人给予优待折扣。为了简单起见,我们假设保费只按两个层次收取,并得到了最终破产概率的递推公式。然后通过几个数值例子来考察NCD系统对破产概率的影响。最后,我们还考虑了最终破产和破产赤字的联合分布。对于具有非整数且不规则保费(或盈余)的离散风险模型,如何建立一个有效的递推公式仍然是尚待解决的问题。本文虽然不是对一般情形进行的尝试,但部分解决了该问题并对一般情形下问题的解决具有启发作用。作为这部分的结尾,我们介绍一下这篇博士论文的主要贡献,具体如下。 ●第2章研究了具有非线性正则-奇异随机控制的最优分红问题。我们假定保费按指数保费原理计算,从而风险控制是非线性的,它比期望值(或方差)保费原理下的相应问题更难以解决。我们的结果展示了一些与期望值保费原理和方差保费原理都不一样的方面。此外,我们同时考虑了便宜和非便宜再保险,而大多数文献都只考虑了其中一种。 ●第3章考虑了跳扩散模型下的最优投资和再保险问题。在研究最大化调节系数时,我们并没有将策略集限制于常数策略类,这与绝大多数文献都不同。此外,用我们的方法可以得到Hald and Schmidli [32]中的定理1。然而,Hald and Schmidli[32]中的方法对本文却不适用,因为我们所考虑的问题是非线性的。 ·第4和5章考虑了离散半马氏风险模型下的破产和分红问题。该模型的古典精算量的计算问题仅在较强的条件下得到部分解决,见文献Reinhard and Snoussi[65,66]。本文去掉了强加在模型上的限制条件,使得所研究的模型变得非常广泛,它包含了多个已有的风险模型,如(带时间相依索赔的)复合二项模型和(带时间相依索赔的)复合马氏二项模型。本文通过全新的方法,找到了计算分红和破产问题的递推公式。 ·第6章研究了具有非整数且不规则保费(或盈余)的离散风险模型下的破产问题。如何在此类模型下建立一个有效的递推公式仍然是尚待解决的问题。本文虽然不是对一般情形进行的尝试,但部分解决了该问题并对一般情形下问题的解决具有启发作用。
[Abstract]:......
【学位授予单位】：南开大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2013
【分类号】：F840;O211.67

【共引文献】