基于累积法的灰色马尔科夫预测模型及其应用

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表1

年份

2000~2009年贵州省旅游人次统计表

2000200120022003200420052006200720082009

人次（万人次）1998.392120.552223.151842.912503.473127.084747.896262.898190.2310439.95

赞，茚3：茚31=y

赞。茚32=y

数据源于贵州省旅游局网站表2基于累积法的GM（1,1）模型与传统GM（1,1）模型预测精度对比

年份

旅游人数

传统GM（1,1）模型累积法GM（1,1）模型(万人）预测值

残差△k

预测值

残差△k

2000

1998.39----20012120.551186.0151520.4407041285.9044920.39359859820022223.151535.5660510.3092841654.0426060.25599145120031842.911988.1391010.0788042127.5739830.15446439820042503.472574.0977290.0282122736.6713760.09315125720053127.083332.754290.0657723520.1456120.12569733220064747.894315.0075590.0911744527.9185640.04633035620076262.895586.7575620.1079595824.2041050.07004528220088190.237233.3268550.1168357491.5997220.0853004472009

10439.95

9365.184870.1029479636.3495130.076973595

阵记为P=(Pij(k))m×m，于是系统未来时刻最可能的预测值为

Y*

(t)=茚+茚=y赞(t)+軃y(ai+bi)

(6)

2实例分析

精确预测旅游人次及旅游收入，对制定贵州省“十二五”计划有着重要的指导作用。表1是1999~2009年贵州省旅游人数和旅游收入统计数据。通过表1的数据显示，除了2003年受到非典影响，旅游人数较2002年大幅度下降外，贵州省历年的旅游人数呈逐年递增趋势。下面通过基于累积法的灰色马尔科夫预测模型对2010年的旅游人数进行预测。

第一步：构造旅游人次序列X(0)=[x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)]=[1998.39，2120.55，2223.15，1842.91，2503.47，3127.08，4747.89，6262.89，8190.23，10439.95]，对X(0)进行一次累加生成，得生成序列X(0)=[x(1)(1)，X(1)(2)，…，x(1)(n)]=[1998.39，4118.94，6342.09，8185.00，10688.47，13815.55，18563.44，24826.33，33016.56，43456.51]，再计算背景值序Z(1)=[z(1)(2)，z(1)(3)，，…，z(1)(n)]=[2059.47，2171.85，2033.03，2173.19，2815.275，3937.485，5505.39，7226.56，9315.09]。

第二步：令GM(1,1)模型的基本形式x(0)(k)+az(1)(k)=b，并对该式两端施以二阶累积算子，如(3)式所示，则有

Σ1010

ΣΣ

n

Σ

ΣΣ

(1)z(1)B=

(k)-ΣΣΣ(1)ΣΣ

Σ-Σ(1)x(0)Σ

(k)Σ

Σ

Σk=2k=ΣΣk=2ΣΣ

Σ

1010

2ΣΣΣ

(2)z(1)Σ(k)-k=2

Σ(2)

Σ=Σ142283.83464019.44-45

-9

Σ，Y=

ΣnΣΣ

ΣΣΣΣ

(2)z(0)k=2Σ

Σ

(k)

Σ=

-kΣΣΣ=2

Σ

Σ-41458.12Σ。于是得则ξ赞=ΣΣa=BT

-0.251670546-145027.38bY=Σ627.7189858

Σ。故预测方程为：

x

赞(1)(k+1)=(x(0)(1)-b)e-ak+b=4492.5992e0.2517k-2494.2092y

赞(k)=x赞(0)(k+1)=x赞(1)(k+1)-x赞(1)(k)=999.7024e0.25176k第三步：以y赞(k)曲线为基准，划分成与y

赞(k)曲线平行的三个区域，每一个区域构成了一个状态：茚1：茚11=y

赞，茚12=y

赞(k)；茚2：茚21=y

赞(k)，茚22=y

赞；158

统计与决策2011年第8期（总第332期）

其中y

赞(k)为第k年的预测值，为历年游客人数的平均值。由图1可知，落入茚1，茚2，茚3三个状态的原始数据的样本点数分别为n1=n2=n3=3（由于最后一个数据的转移方向不确定，故不予以考虑）；由状态茚1一步转移到状态茚1、茚2和茚3的原始数据样本点数分别为n11=2，n12=1，n13=0；由状态茚2一步转移到状态茚1、茚2和茚3的原始数据样本点数分别为n21=n22=n23=1；由状态茚3一步转移到状态茚1，茚2和茚3的原始样本点数分别为n11=0，n12=1，n13=2。故可得一步转移

ΣΣ21Σ0ΣΣΣ

Σ概率矩阵为P=

ΣΣ111ΣΣΣ，根据该矩阵可以判定2010年游

ΣΣΣΣΣΣ0

12ΣΣΣ

Σ

客人数最有可能处于状态茚3。即可能在灰区间[茚31，茚32]内，

因此2010年的游客人数预测值Y*(11)=茚+茚2

=y

赞(10)+軃y2

(0.15+0.25)=13264.2441万人。

下面对基于累积法的GM（1,1）模型与传统GM（1,1）模

型的预测精度进行对比。

根据GM（1,1）的求解法则，可得传统GM(1,1)模型的预测方程为：

x

赞(1)(k+1)=(x(1)(1)-b)e-ak+b=4024.112e0.253k-2025.711y

赞(k)=x赞(0)(k+1)=x赞(1)(k+1)-x赞(1)(k)=916.03480.2583k在表1中，残差△e(k)

k=

，其中相对误差e(k)=x(0)(k)-x

赞(0)

(k)，则传统GM（1,1）模型残差平均值1

kΣn

△k

=

=2n

0.1491，而累积法GM（1,1）模型的残差平均值1n-1Σ△k=

k=2

0.1446，这说明累积法GM（1,1）模型的预测精度较传统GM（1,1）模型的预测精度更高一些。此外，通过表1可以看出，累积法GM（1,1）模型对远期的预测精度较传统GM（1,1）模

型更为精确。

3结论

上述实例表明，运用累积法求解GM（1,1）模型中的发展系数a和灰色作量b，不仅能够降低运算量，也能提高预测精度，另外将马尔科夫预测与灰色预测相结合，取长补短，克服了两种预测方法各自的缺陷，这在统计预测领域中具有重要的理论和实践意义。

参考文献:

[1]邓聚龙.灰色系统基本方法[M].武汉:华中理工大学出版社出版,1988.[2]曹定爱,张顺明,累积法引论[M].北京:科学出版社,1999.

[3]何勇,鲍一丹.灰色马尔柯夫预测模型及其应用[J].系统工程理论与实践,1992,(4).

[4]蒋承仪,灰色马尔柯夫预测模型[J].重庆建筑大学学报,1996,18(3).[5]王美岚,灰色模型参数辨识的新方法[J].烟台师范学院学报（自然科学版）,2002,18（3）.

[6]ZengXY，XiaoXP.AResearchonMorbidityProbleminAccumulatingMethodGM（1,1）Model[C].ICMLC2005,IEEE，2005.

（责任编辑/易永生）

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