求解正倒向随机微分方程的预估校正方法和多步方法及其应用

发布时间：2018-03-16 07:00

  本文选题：正倒向随机微分方程　切入点：预估校正方法　出处：《山东大学》2016年博士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：在本文中,我们将系统研究求解正倒向随机微分方程(FBSDEs)和带跳的正倒向随机微分方程(FBSDEJs)的高精度数值算法。在[54]中,Pardoux和彭实戈院士首次证明了非线性倒向随机微分方程(BSDE)解的存在唯一性。而经济学家Duffie和Epstein从经济学角度出发,也独立的提出了一种特殊形式的BSDE[26]。1991年,彭实戈院士引入了著名的非线性Feynman-Kac公式[58],它揭示了一类拟线性偏微分方程(PDEs)与BSDE之间的关系,这使我们可以通过BSDE研究诸如反应扩散方程和Navier-Stokes方程等重要的非线性偏微分方程系统。自此之后,FBSDEs的理论研究取得了迅速发展,并在很多领域中得到了广泛应用,例如随机最优控制,金融数学,偏微分方程,风险度量,非线性期望以及随机微分博弈等等。在实际问题中,FBSDEs的结构通常十分复杂,很难通过解析方法得到其显式解。因此,研究FBSDEs的数值算法就显得尤为重要。根据目前的研究情况,求解FBSDEs的数值方法大致可分为两类：一类是以非线性Feynman-Kac公式为基础,借助求解PDEs的数值方法来求解FBSDEs；另一类方法则直接分析和离散FBSDEs,利用概率统计工具对其进行数值求解。本文将从第二类方法入手,研究求解FBSDEs的高阶数值格式。长期以来,在FBSDEs的数值格式中,需要通过求解非线性方程获得Yt的高精度数值解。这使我们不得不借助一些迭代方法,增加了算法的复杂度。类似的问题也出现在常微分方程(ODEs)数值算法的研究中,而预估校正方法很好的解决了这一问题。受此启发,我们通过引入一个新的Gauss过程和一个新的Poisson随机测度,对非耦合FBSDEs和FBSDEJs分别提出了一种显格式(预估校正格式),并对所提格式进行了严格的误差估计和收敛性分析,证明了所提格式能够达到二阶收敛。然而,在分析过程中,我们还得到了以下结论：对于求解FBSDEs和FBSDEJs的预估校正格式,使用弱二阶(或更高阶)格式求解正向方程是使倒向方程的数值解达到二阶收敛的必要条件。事实上,在[88,94]等研究工作中,作者也得到了类似的结论。这个条件极大的限制了预估校正格式在实际问题中的应用,特别是在高维情况。其主要原因有以下两个方面：第一,正向随机微分方程(SDE)和带跳的随机微分方程(SDEJ)的高阶格式非常复杂,尤其在高维情况时很难实现。特别是SDEJ的高阶格式,不仅形式复杂,在进行数值模拟时还需要考虑足够多的跳,才能保证其高阶收敛性。第二,在许多实际问题中,人们只关心倒向方程的解。在很多模型中,正向方程只是对状态变量的描述,我们对其数值解的精度并不关心。例如,在Black-Scholes期权定价模型中,正向方程是对股票价格的描述,而股票价格是客观存在的,当前时刻的股票价格也是已知的。我们关心的是在当前的股票价格下,以该股票为标的物的期权的价格,它是倒向方程的解Yt.综合这两个因素,使用高阶格式求解正向方程计算量大且收效甚微,得不偿失。因此,我们很自然的会提出以下问题：能否提出一个求解FBSDEs或FBSDEJs的数值格式,当使用简单的(低阶收敛的)数值格式求解正向方程时,仍然使倒向方程的数值解达到高阶收敛?带着这个问题,我们使用一种崭新的方法对BSDE进行研究,得到了两个一阶ODEs。基于ODEs中的一阶微分项与扩散过程生成元之间的等价关系,我们提出了求解FBSDEs的全新多步格式。结合扩散过程生成元的局部性这一特点,在全新多步格式中,可以使用Euler格式求解SDE,而不影响对ODEs中一阶微分项的逼近精度,从而使BSDE的数值解能够保持高阶收敛性。对于FBSDEJs,通过类似的研究方法,我们也提出了一类多步格式。根据跳扩散过程生成元的局部性特点,在保证倒向方程的数值解达到高阶收敛的前提下,我们不仅可以使用Euler格式求解正向SDEJ,而且只需要考虑一个跳。这显著的降低了数值格式的计算复杂度。求解FBSDEs和FBSDEJs全新多步格式的提出,对上文提到的问题给出了肯定的答案。Euler格式不仅计算简便,而且易于推广到高维情况。因此,多步格式的这种特点也为高维FBSDEs勺高阶算法研究奠定了良好的基础。在此基础上,为了应对维数灾难,算法还需要在其它各个方面提高运算效率。在本文中,结合稀疏网格和谱方法,我们提出了求解高维FBSDEs的高效数值算法。算法使用稀疏网格对高维空间进行离散,并通过稀疏结构的Gauss积分公式逼近高维积分。对于高维空间中的函数逼近问题,我们首先将函数在一组具有分层结构的基底下展开,然后使用快速变换求出其展开系数。通过以上工作,我们提出了求解高维FBSDEs的高阶收敛算法,并通过数值实验证明了其高效性。最后,我们对随机最优控制问题的数值算法进行研究。根据推广的随机最大值原理,随机最优控制问题可以转化为一个带有外部最优条件的FBSDEs系统。然后,通过分别研究优化算法和FBSDEs的数值解法,我们提出了一个求解随机最优控制问题的一般算法。在随机最优控制问题中,状态方程的漂移和扩散系数都含有未知的控制过程,这使我们很难对状态方程进行高精度求解。根据这个特点,我们选取全新的多步格式作为求解FBSDEs的数值方法。在不进行更精细的时间剖分的前提下,得到了求解随机最优控制问题的二阶收敛算法。综上所述,本文的主要创新之处可以总结为以下几点。1.提出了求解非耦合FBSDEs和FBSDEJs的显式二阶格式。利用预估校正的思想,避免了求解K时的迭代过程,并通过误差分析,严格证明了所提格式可以达到二阶收敛。2.首次提出求解耦合FBSDEs和FBSDEJs的高阶格式。基于随机分析和正倒向随机微分方程的理论,分别得到了与FBSDEs和FBSDEJs对应一阶ODEs。以ODEs的性质和数值格式为基础,提出了一类全新的多步格式。根据扩散过程和跳扩散过程生成元的局部特性,在这类格式中,我们可以使用Euler方法求解正向方程,同时使得倒向方程的数值解仍然保持高阶收敛性。3.首次提出求解高维FBSDEs的高阶算法。以所提多步格式为基础,通过使用具有自嵌套结构的稀疏网格和具有分层结构的正交多项式,提出了求解高维FBSDEs的高效多步算法。在这个算法中,稀疏网格上的快速变换使我们能够高效的求出高维空间中函数在所选基底下的展开系数,极大地提高了整个算法的运算效率。4.首次提出了求解随机最优控制问题的高阶算法。以推广的随机最大值原理为基础,提出了通过FBSDEs求解随机最优控制问题的一般算法。然后,根据随机最优控制问题的特点,选取适当的优化算法和FBSDEs数值格式,成功的构造出了求解随机最优控制问题的二阶算法。在一些金融和经济学问题中,该算法都有良好的表现。下面,我们分别介绍每一章的主要内容和得到的结果。第一章中我们回顾了FBSDEs和FBSDEJs的研究进程以及一些主要的数值格式。第二章主要介绍了一些关于FBSDEs和FBSDEJs的基础知识。在介绍FBSDEs之前,我们首先引入一个带域流的完备概率空间(Ω,F,F,P),其中F={Ft}0≤t≤T,Ft是由d维布朗运动Wt=(Wt1,…,Wtd)T生成的自然σ-域流,T是终端时刻。现在,我们考虑定义在(Ω,F,F,P)上的正倒向随机微分方程,X0∈F0和ζ∈FT是给定的随机变量,分别作为SDE的初始条件和BSDE的终端条件,f[0.T]×Rq×Rp×Rp×d→FP称为BSDE的生成元。(Xt,Yt,Zt):[0,T]×Ω→Rq×Rp×RP×d是需要求解的未知过程。我们称(Xt,Yt,Zt)是方程(1)的L2-适应解,如果(Xt,Yt,Zt)是平方可积的Ft-适应过程,且满足FBSDEs(1)。FBSDEs(1)称为非耦合的,如果正向方程的漂移系数b和扩散系数σ不依赖于K和Zt在本文中,我们假设所研究的FBSDEs其终端条件是XT的确定性函数,即ζ=φ(XT),并且参数b,σ和f都是(t,Xt,Yt,Zt)的确定性函数。对于带跳的正倒向随机微分方程,我们需要引入另一个概率空间(Ω,F,F,P),其中F={Ft}0-t-T是一族右连续的域流,T是终端时刻。Ft是由下面两个相互独立的随机过程生成的,1.[Ws}，，0≤s≤t：d-维布朗运动。2.μ(A,[0,s]),0≤s≤t,A∈ε：E×[0,T]上的泊松随机测度,其中ε表示E上的Borel集。在(Ω,F,F,P)上,我们考虑带跳的正倒向随机微分方程。v(A,[0,t])叫做泊松随机测度的补偿过程,它是E×[0,T]上的有限测度。在本文中,我们假设v(A,[0,t])具有以下形式,在第三章中,我们提出了求解FBSDEs和FBSDEJs的预估校正格式,并通过误差分析,严格的证明了其二阶收敛性。首先,引入一个新的随机过程△Wtn,s然后,根据得到的参考方程,我们提出了求解FBSDEs的预估校正格式,格式1.给定随机变量X0,YN和ZN,对n=N-1...,1,0通过以下步骤倒向求解随机变量Yn和Zn,接下来,我们对所提格式的收敛性进行分析,得到了下面的定理。定理1.在一定的假设条件下,对于充分小的At,我们有以下估计。从这个定理中我们可以看出,当使用弱二阶格式求解SDE时,求解FBSDEs的预估校正格式可以达到二阶收敛。类似的,对于FBSDEJs,我们需要在△Wtn,s的基础上,再引入另一个新的随机过程,程,并以此为依据提出了下面求解FBSDEJs的预估校正格式。格式2.对于非耦合的FBSDEJs,假设正向SDEJ的初始条件X0和BSDEJ的终端条件(YN,ZN,ΓN)都是已知的。那么对n=N-1,N-2,...,0,我们可以通过以下方法倒向求解(Yn,Zn,Γn),通过对格式中的截断误差进行分析,我们得到了如下定理。定理2.在一定的假设条件下,对充分小的时间剖分步长Δt,我们有,其中,α,β,γ与求解正向SDEJ数值算法的弱收敛阶有关,C,C1,Ω都是与At无关的正常数,C依赖于c0和L,C1与c0,T和L有关,C2依赖于c0,T,K,X0和函数b,σ,c,f,φ及其导数的上界。同样的,根据上述定理,使用弱二阶收敛的格式求解SDEJ,是BSDEJ的数值解达到二阶收敛的必要条件。虽然正向SDE和SDEJ的数值格式已经得到了深入研究,但其高阶格式的形式依旧非常复杂。特别是在求解SDEJ时,随着收敛阶要求的提高,在求解过程中必须考虑足够多的跳,这使得数值格式更加复杂。因此,对正向SDE和SDEJ高阶格式的需求,极大的增加了我们获得BSDE和BSDEJ高精度数值解的难度。本章的研究结果具有以下重要意义：1.利用预估校正的思想,构造了求解非耦合FBSDEs和FBSDEJs的二阶显格式。在以往的高阶格式中,必须使用隐格式,通过迭代方法求解非线性方程组来获得Yt的高精度数值解。显格式的提出使我们舍弃了这个迭代过程,在简化了算法的同时仍然保持了数值格式的二阶收敛性。2.通过误差分析,在理论上严格证明了FBSDEs和FBSDEJs预估校正格式的二阶收敛性,同时表明了这种二阶收敛性依赖于求解正向方程的弱二阶(或更高阶)格式。这不仅是一个重要的理论结果,同时也揭示了一类FBSDEs和FBSDEJs数值格式的误差结构,启示我们若想使FBSDEs和FBSDEJs的高阶格式不依赖于正向方程的高阶数值解,需要用新的思路对FBSDEs和FBSDEJs进行研究。在第四罩中,我们用一种崭新的思路研究FBSDEs。通过对BSDE进行研究,得到了两个一阶ODEs作为数值格式的参考方程。在此基础上,通过对一阶微分项进行估计,我们提出了求解耦合FBSDEs的全新多步格式。根据扩散过程生成元具有的局部性特点,这类多步格式在使用Euler格式求解正向SDE的前提下,仍然能够使BSDE的数值解达到高阶收敛。令扩散过程Xt满足如下SDE,那么Xt关于9的生成元Atx被定义为,生成元Atx具有以下性质,其中Lo为,由此我们可以得到以下定理。定理3.对于固定的t0t和xo∈Rd,如果f∈C1,2([0,T]×Rq)且Et0x0[||L0f(t,Xt)|].+∞,我们可以得到,从上述定理中可以看出,Atxf(t,x)的取值只与b,σ,f及其导数在点(t,x)的取值有关,这就是我们所说的局部性。结合这个性质,在对每一个时间层引入空间剖分Dhn后,我们提出了求解耦合FBSDEs的全新多步格式。格式3.对正整数1≤k≤6,和给定的容许误差∈0,假设对i=0,1...,k-1,YN-i和ZN-在DhN-i中的取值是已知的,那么,令n=N-k,…,0,对x∈Dhn,通过以下步骤求结合ODEs的相关理论结果并通过大量的数值实验,我们得到了以下结论：对于1≤k≤6,所提多步格式是稳定的,且k步格式可以达到k阶收敛。本章中的研究成果具有以下几点创新之处：1.使用崭新的思路研究BSDE,获得了两个一阶ODEs,作为提出数值格式的参考方程。并且建立了ODEs中的一阶导数项与扩散过程生成元之间的等价关系。2.根据扩散过程生成元的局部性特点,我们在对ODEs的一阶导数项进行估计时,可以选取多种满足等价条件的数值格式求解正向SDE,其中包括最简单的Euler格式。这重要发现使我们在使用Euler格式求解SDE的条件下,仍然可以得到BSDE高阶收敛的数值解,这在FBSDEs数值算法的研究中尚属首次。在第五章中,根据跳扩散过程生成元的局部性,使用与第四章中类似的研究方法,我们提出了求解FBSDEJs的多步格式。与第四章不同的是,在保证BSDEJ的数值解能够达到高阶收敛的前提下,我们发现不仅可以使用Euler格式求解SDEJ,而且可以在SDEJ的Euler格式中只考虑一个跳。令Xt是一个取值于Rd的跳扩散过程,对于给定的可测函数g：[0,T]×Rd→ R,Xt关于函数夕的生成元Atx被定义为,经过我们的分析,对于以下两个跳扩散过程,它们关于函数g的生成元相等,即以此为基础,结合得到的三个一阶ODEs,我们提出了求解FBSDEJs的多步格式。格式4.对正整数k≤6,假设对i=0,1...,k-1,YN-i和ZN-i都是已知的,那么通过大量的数值实验,我们验证了多步格式的稳定性和高阶收敛性,而且在求解具有奇异核函数的非局部问题中也取得了良好的效果。本章的研究成果具有以下重要意义：1.本章中提出的FBSDEJs的多步格式,允许我们使用只带一个跳的Euler格式求解正向SDEJ,而BSDEJs的数值解依然保持高阶收敛。2.FBSDEJs在非局部问题中有着重要应用,本章中提出的FBSDEJs的多步格式,在处理具有奇异核函数的非局部问题时,也体现出了高阶收敛性和稳定性。在第六章中,以第四章的多步格式为基础,通过使用稀疏网格和谱方法等工具,我们给出了一个求解高维FBSDEs的高阶收敛算法。通过适当的选取基函数和网格点,快速变换的使用显著提高了算法的效率。在本章中,我们首先介绍文献[72]中提出的稀疏网格方法。并利用稀疏网格对高维空间进行剖分。考虑一列R中的点集{Xi}i=1∞,根据这列一维的点集,通过以下方式构造g维稀疏网格,其中p≥q是一个整数,i=(i1...,iq)是多重指标。称一列一维点集是自嵌套的(nested)如果它满足条件x1∈x2…∈xk∈….为了对高维空间内的函数进行逼近,我们选取一组基函数{φ(x)k}k=0∞,通常为正交多项式。对于自嵌套的一列点集,称{φ(x)k}k=0∞。具有分层结构,如果对任意的正整数i,满足,当使用由自嵌套的点集生成的稀疏网格xqp,和具有分层结构的基函数{φ(x)k}k=0∞。时,对于定义在R·中的函数f,可以通过其在xqp点上的取值定义下面的插值算子,由于所使用的点集和基函数具有分层结构,我们可以通过以下的快速变换[69]求得展开系数{bk}k∈xpq以快速变换为基础,我们对高维空间内的函数进行有效的逼近。此外,结合稀疏网格上的Gauss积分公式,我们给出下面求解高维FBSDEs的数值算法。算法2.求解高维FBSDEs的k步格式使用这个算法,我们对最高六维的耦合FBSDEs进行求解,并验证了其高阶收敛性。本章提出的求解高维FBSDEs的高阶算法,有以下几点创新之处：1.将稀疏网格方法与谱方法相结合,首次应用到求解高维FBSDEs中。在选取自嵌套的稀疏网格和具有分层结构的基函数时,快速变换的引入使算法效率大幅提高。2.首次提出求解高维耦合FBSDEs的高阶数值算法。通过概率方法求解FBSDEs,虽然能够很好的应对维数灾难,但受限于概率方法的精度,很难得到高阶算法。另一方面,求解高维的正向SDE,目前可行的方法只有Euler格式。因此,第四章中提出的多步格式是本章中高阶算法的重要基础。最后,在第七章中,我们研究求解随机最优控制问题的数值方法。根据推广的随机最大值原理,随机最优控制问题可以转化为一个带有外部最优条件的FBSDEs系统。对于这个系统,我们首先给出了一个一般的求解算法。然后通过选取适当的优化算法和FBSDEs数值格式,得到了求解随机最优控制的二阶算法。在本章中,我们研究的随机最优控制问题具有以下形式的状态方程,其中Wt=(W1,t,…,Wm,t)T是一个m维布朗运动,αt是控制过程。我们的目标是在容许控制集合u中,选取适当的控制过程a.使代价泛函J(a.)取得最小值,其中J(a.)具有以下形式,在这里,我们假设αt可以表示成t和Xt的函数,即αt=α(t,Xt).使代价泛函J(a.)达到最小值的控制过程a.被称为最优控制,通常用α9表示,即根据推广的随机最大值原理,我们将上述随机最优控制问题转化成了下面带有最优条件的FBSDEs系统。其最优条件为求解这个带有最优条件的FBSDEs系统,需要使用优化算法和FBSDEs的数值算法,我们分别用ALG.OPTIM和ALG.FBSDE两个映射来表示。利用这两个映射,我们提出了下面求解随机最优控制问题的一般算法。算法3.求解随机最优控制问题的一般算法在这个算法中,ρl是一个随l变化的正实数,Pn,Qn,Yn,Zn和αn*分别表示Ptn,Qtn,YtnZtn和αtn*的数值解,Pn+,Qn+,Yn+1,Zn+,αn+*的定义如下,在随机最优控制问题中,状态方程的漂移和扩散系数含有未知的控制过程α,t,这使我们无法明确得到b,σ与t和Xt的关系,也就无法使用高精度格式求解状态方程。根据这个特点,我们选取第四章中提出的多步格式来求解FBSDEs,它允许我们使用Euler格式求解状态方程,同时保证了αt和Yt数值解的高阶收敛性。这里,我们用映射ALG.FBSDE.Ms-k表示k步格式对应的数值算法。同时选用投影梯度法来解决优化问题,用ALG.OPTIM.GP表示。这样,我们得到了下面求解随机最优控制问题的二阶算法。算法4.求解随机最优控制问题的二阶算法在算法中,ALG.FBSDE.EU表示求解FBSDEs的Euler方法,它在整个求解过程的第一步使用,用来计算ALG.FBSDE.Ms-2需要的终端条件。利用所提的二阶算法,我们对金融和经济学中的随机最优控制问题进行求解,都取得了良好的效果。本章中对随机最优控制问题数值算法的研究,有以下几点创新之处：1.通过FBSDEs的相关理论,首次给出了一个求解随机最优控制问题的一般算法。在这个算法中,针对不同的实际问题,可以通过选取不同的优化算法和FBSDEs数值格式,构造出适合解决此问题的具体算法。2.根据随机最优控制问题的特点,通过选取恰当的FBSDEs数值格式,使算法达到了二阶收敛。值得注意的是,这个二阶算法是完整的,2步格式需要的终端条件可以由FBSDEs的Euler格式得到,不需要假设额外的终端已知条件,也不需要进行更精细的时间剖分。
[Abstract]:......
【学位授予单位】：山东大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O241.82


本文编号：1618807