一类含泊松跳的随机波动率模型的期权定价问题

发布时间：2017-05-01 15:11

  本文关键词：一类含泊松跳的随机波动率模型的期权定价问题，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：期权是一种金融衍生产品,表示的是基于标的资产的一种买卖权利,买方向卖方支付一定的权利金,即期权价值,就具有在未来某一时刻以某一价格买进或卖出一定量的标的资产的权利,如果标的资产的价格变化与预期相背,买方可以选择不行权而损失权利金,而如果标的资产价格变化与预期相同,买方选择行权,他损失的只是有限的权利金,赚取的却是无限的收益.期权具有的杠杆效应可以有效地减少成本,扩大收益,这使得金融市场上的投资者对此非常热衷,然而权利金（即期权价格）的确定是非常重要的,过高会使得期权交易减少,过低又会使得金融市场期权交易的风险不好把控. 期权定价的问题,已有很多成果,最经典的当属Black-Scholes提出的期权定价模型,但是大量金融市场数据表明, BS模型中波动率为常数的假设并不准确,股票价格的波动变化通常有“尖峰厚尾”的表现,而且BS模型也不能解释波动率微笑的问题,而OU过程描述的波动率能够捕捉到金融时间序列的一些程序化的特征[12];另外股票价格也是存在跳跃的,实证表明,股票价格加入Levy过程可以很好地刻画“尖峰厚尾”现象[2],故本文考虑含泊松跳（泊松过程是最简单的Levy过程）的股票价格,波动率是OU过程并且跳的幅度满足CIR模型的一类随机波动率模型的期权定价问题. 本文首先介绍了常见的随机过程,如Levy过程、Poisson过程、OU过程、CIR过程等,并简要说明了它们的性质,然后介绍了对泊松过程和布朗运动如何进行测度变换,从而实现在风险中性的测度下考虑期权定价问题.接下来介绍了几个经典的期权定价模型,分别是BS模型、股票价格的波动率为一个OU过程的模型、以及股票价格和波动率均含相关的随机泊松跳的模型,并分别给出了它们的研究结果. 本文主要是在上述三个模型的基础上,考虑股票标的资产价格含泊松跳,且跳的系数为一个CIR过程,股票价格的波动率服从一个OU过程的情形.考虑了在不完备市场中,如何进行测度变换,转换成在风险中性测度下考虑定价问题,并给出期权价格满足的PDE. 考虑随机波动率模型：dSt=μStdt+√vtStdwt1+utSt-dnt dvt=αvtdt+σdwt2,(4.0.1) dut=β(η-ut)dt+δ√utdwt3其中S(t)表示标的资产的价格,N1是概率空间(Ω,F,P)上的泊松过程,强度为λ,M(t)=N(t)-λt是补偿的泊松过程,wt1,wt2,wt3,Nt相互独立,ut,是一个CIR过程,用来刻画跳的大小,是一个随机过程,CIR过程的性质保证了ut不会出现负值.是一个正数,则存在如下的风险中性测度：其中这个风险中性测度是唯一的,在这个测度下,概率空间(Ω,F,P)上的补偿的泊松过程M(t)=N(t)-λt是一个鞅.并且(4.0.1)可以改写为：dS(t)=rS(t)dt+S(t-)u(t)dM(t)+√vtS(t)dwt1dvt=αvtdt+σdwt2,(4.2.6) dut=β(η-ut)dt+δ√utdwt3, 其中vt1,wt2,wt3,Mt相互独立,且在P下,N(t)是参数为λ的泊松过程. 对新概率测度下的模型,运用带跳Ito公式,可得函数f=f(t,St,vt,ut)满足的随机微分方程,再利用e-rtf(t,St,vt,ut)的鞅性质,微分并dt项的系数为0,则有本论文的主要结果： 定理1.设V=F(t,St,vt,ut)为期权在t时刻的价格,则作为t的确定函数,f(t,St,vt,ut)满足 边界条件如下：f(T,S,v,u)=(S-K)+f(O,S,v,u)=O, f(t,S,∞,u)=S,
【关键词】：随机波动率 Poisson过程 跳扩散模型 期权定价
【学位授予单位】：吉林大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2014
【分类号】：F830.9;O211.6
【目录】：

• 摘要4-7
• Abstract7-12
• 第1章 绪言12-14
• 1.1 期权交易的历史和发展12-13
• 1.2 期权定价和波动率13
• 1.3 本文主要结论13-14
• 第2章 随机过程14-21
• 2.1 Levy 过程14-15
• 2.2 Ornstein Uhlenbeck 过程15-16
• 2.3 Cox-Ingersoll-Ross 过程16-17
• 2.4 测度变换17-21
• 第3章 期权定价模型21-32
• 3.1 跳扩散过程和随机波动率过程21
• 3.2 已有研究成果和本文的改进21-32
• 第4章 含连续过程泊松跳跃的随机波动率模型32-39
• 4.1 跳过程的伊藤-德布林公式32-33
• 4.2 期权定价33-39
• 第5章 结论39-40
• 参考文献40-43
• 致谢43

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本文编号：339156