飞行器设计中的高维函数逼近理论研究

发布时间：2017-07-16 00:01

  本文关键词：飞行器设计中的高维函数逼近理论研究

  更多相关文章： 函数逼近 收敛速度 误差估计 Fourier级数 Legendre级数 星形部分和 Jigsaw拟插值 再生核 HDMR分解 Sobol指标 Borgonovo指标 渐近空间

【摘要】：论文从飞行器设计中对曲面构造、方程求解以及代理模型等问题的具体需求出发,探讨了相应的(1)函数逼近空间、(2)具体逼近算法、(3)两类不确定性重要度的计算以及(4)多元积分的转换等方面内容。 (1)讨论了由多重正交级数的星形部分和张成的函数空间。该空间的自由参数数目独立于问题的维数,且空间中的函数作为给定函数的近似具有较好的收敛速度。主要的结论有： ·运用函数正交展开式系数的衰减性来定义部分和,从而使得自由参数数目的增长独立于维数本身； ·给出了星形部分和自由参数数目的增长阶与增长界； ·基于上述增长界,给出了利用星形部分和逼近已知函数时的误差界； ·由可和性讨论给出了高维核插值的一个基本思路。该思路有可能成为径向基函数插值在高维情形有价值的替代品。(2)引入了一种基于多项式的多分辨分析以及一类多级的Jigsaw拟插值算法。该方法为多元函数与数据提供了一种由粗到细的分级表示方法。主要的结论有： ·提出了一种多项式再生的多分辨结构。这种多分辨结构仅依赖于空间的仿紧性,因此可以直接拓展到定义在微分流形上的函数或数据,也可用于微分流形本身的构造； ·引入了一族多项式Jigsaw函数以及C∞的Jigsaw函数,并由此提出了种多级Jigsaw分解算法,从而得到一个从整体逐渐过渡到局部的空间树形分解结构； ·引入了两种多项式多级Jigsaw拟插值,并得到了相应的误差界； ·引入了局部误差估计,并在此基础上建立了Jigsaw逼近以及Jigsaw变换,由此得到一类白适应逼近。另外还单独讨论了常数Jigsaw拟插值。说明了最优分片常数插值的存在性以及该最优方法与相应Voronoi图和Delaunay三角剖分之间的联系。 (3)给出了High Dimensional Model Representations (HDMR)分解、Sobol指标以及Borgonovo指标的具体计算方法。主要的结论有： ·构造了HDMR分解截断空间的再生核,从而利用核插值的方法估计HDMR分解,并最终对Sobol重要度指标进行估计。在一个较强的假设下,该方法也可以用于高维函数逼近； ·根据非参数滤波的思想,将核回归的方法引入到条件期望E(y|xI)的估计中,因此能够同时对HDMR分解以及Sobol重要度指标进行估计。并针对这些估计分析了相应的渐近收敛速度,从而指出其收敛速度不可能高于N-1/2； ·针对Borgonovo矩独立指标估计中的双重Monte Carlo(MC)密度估计的问题,分别采取了相应的措施。首先利用一个核估计对条件密度积分进行转化以避免双重MC估计,然后又将密度范数的估计转化为一个正交矩列的估计,从而建立了矩独立指标的一类快速算法。 (4)根据圆柱螺旋线引入了渐近空间的相关概念。借助适当的渐近曲线,可以将任意的高维积分转化为一个单变量积分,从而可以使用单变量的白适应积分来估计高维积分。主要的结论有： ·讨论了渐近曲线上的单变量积分与原始多变量积分之间的收敛性； ·针对渐近曲线上的近似积分建立了相应的误差估计,它表明相应的误差由函数本身的连续模数所控制； ·特别引入了一类球面上的渐近曲线,将其与Gauss公式相结合就可以应用于三维偏微分方程弱形式的求解。
【关键词】：函数逼近 收敛速度 误差估计 Fourier级数 Legendre级数 星形部分和 Jigsaw拟插值 再生核 HDMR分解 Sobol指标 Borgonovo指标 渐近空间
【学位授予单位】：西北工业大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：V221
【目录】：

• 摘要3-5
• Abstract5-9
• 第一章 绪论9-22
• 1.1 函数逼近与飞行器设计学科的关系10-13
• 1.2 问题陈述13-15
• 1.3 文献综述15-19
• 1.4 本文工作19-22
• 第二章 多重Fourier级数与Legendre级数的部分和22-57
• 2.1 多重Fourier级数22-24
• 2.2 多重Fourier级数的星形部分和24-28
• 2.3 多重Fourier级数的一个分解28-29
• 2.4 SK(f,x)的收敛性29-34
• 2.5 |Λ~—k|界的进一步讨论34-37
• 2.6 SK(f,x)的误差界37-41
• 2.7 SK(f,x)的可和性41-44
• 2.8 多重Legendre级数及其星形部分和44-48
• 2.9 S_K~L(f,x)的误差界48-51
• 2.10 S_K~L(f,x)收敛阶的进一步讨论51-53
• 2.11 本章小结53-57
• 第三章 多元散点数据的Jigsaw拟插值57-105
• 3.1 Jigsaw函数族61-64
• 3.2 从分片插值到Jigsaw插值64-68
• 3.3 多元Jigsaw分解68-70
• 3.4 多级多项式Jigsaw拟插值P_(J,a)70-75
• 3.5 多级多项式Jigsaw拟插值P_(J,b)75-80
• 3.6 单变量多项式插值余项的一个注80-83
• 3.7 多变量多项式插值余项83-86
• 3.8 多级Jigsaw拟插值的一致误差界86-89
• 3.9 多项式Jigsaw逼近和Jigsaw变换89-93
• 3.10 Jigsaw多项式空间的多分辨结构93-96
• 3.11 多级常数Jigsaw拟插值P_(J,c)96-100
• 3.12 基于星形部分和的多级Jigsaw拟插值100-102
• 3.13 本章小结102-105
• 第四章 渐近空间积分法及其应用105-118
• 4.1 渐近空间的概念和定义106-110
• 4.2 渐近空间积分法的收敛性110-113
• 4.3 渐近空间积分法的误差估计113-116
• 4.4 渐近曲线的一个特例116-117
• 4.5 本章小结117-118
• 第五章 再生核方法及其应用118-149
• 5.1 HDMR的截断空间与再生核118-121
• 5.2 基于再生核的HDMR定义121-125
• 5.3 截断空间S_l的两种再生核125-128
• 5.4 基于再生核的l阶HDMR估计128-132
• 5.5 截断HDMR展开式估计实例132-135
• 5.6 Sobol灵敏度指标与滤波135-138
• 5.7 估计HDMR分解的核滤波方法138-144
• 5.8 HDMR核估计的数值误差分析144-146
• 5.9 Sobol灵敏度指标的核估计146-148
• 5.10 本章小结148-149
• 第六章 概率密度重要度分析149-163
• 6.1 数学物理背景149-152
• 6.2 Borgonovo矩独立重要度152-153
• 6.3 将双重MC转化为单重的核函数法153-155
• 6.4 (?)(x_i)的等价矩列估计155-158
• 6.5 δ_i的快速算法158-160
• 6.6 快速算法估计实例160-162
• 6.7 本章小结162-163
• 第七章 总结与展望163-167
• 参考文献167-177
• 发表论文177-179
• 致谢179-180

【参考文献】

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1 陈希孺;;ON THE PROBLEM OF BEST CONVERGENCE RATES OF DENSITY ESTIMATES[J];Chinese Annals of Mathematics;1984年02期

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本文编号：546262