两类非局部问题解的存在性与多重性

发布时间：2017-11-09 15:34

  本文关键词：两类非局部问题解的存在性与多重性

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【摘要】：本文首先利用变分方法和山路引理,研究了Dirichlet边界条件下一个新的非局部问题的非平凡解的存在性与多重性,然后利用椭圆型问题现有的结论以及本文给出的函数变换,研究了全空间中三类典型Kirchhoff型问题正解的存在性以及与之相关的临界或超临界指数Kirchhoff型问题非平凡解的不存在性.首先,考虑如下带有Dirichlet边界条件的非局部问题非平凡解的存在性与多重性,其中Ω是RN中的光滑有界区域,N≥1,常数a,b0,并且有主要结果为定理1问题(P1)在H01(Ω)中至少有一个非平凡弱解.定理2问题(P1)在H01(Ω)中至少有一个非负非平凡弱解和一个非正非平凡弱解.其次,考虑以下三类Kirchhoff型问题(α+λ∫RN(|%絬|2+|u|2)dx)(-△u+u)=|u|p-1u,x ∈RN, (P2)-(α+λ∫RN(|%絬|2+|u|2)dx)△u+u=|u|p-1u,x ∈RN (P3)和-(α+λ∫RN|%絬|2dx)△u+μu=|u|p-1u,x ∈RN (P4)正解的存在性,其中空间维数N≥2,参数λ0,常数α0,μ0,1p2*-1,以及和非平凡解的不存在性,其中N≥3,p≥2*-1,常数a,b,μ0.记U是问题-△u+u=|u|p-1u,x ∈RN的唯一正径向解.主要结果为定理3(1)当N=2,3且1p3时,或者当N≥4且1p2*-1时,记则当λ∈(0,λ0)时,问题(P2)有两个正解；当λ=λ0时,问题(P2)有一个正解；当λ∈(λ0,∞)时,问题(P2)无非平凡解.(2)当N=2,3且p=3时,记则当λ∈(0,λ1)时,问题(P2)有一个正解；当λ∈[λ1,∞)时,问题(P2)无非平凡解.(3)当N=2,3且3p2*-1时,问题(P2)有一个正解.定理4(1)当N=2时,记则当λ∈(0,λ0)时,问题(P3)有一个正解；当λ∈λ0,∞)时,问题(P3)无非平凡解.(2)当N≥3时,记其中则当λ∈(0,λ1)时,问题(P3)有两个正解；当λ=λ1时,问题(P3)有一个正解；当λ∈(λ1,∞)时,问题(P3)无非平凡解.定理5(1)当N=2,3时,对于任意的λ0,问题(P4)有一个正解.则当λ∈(0,λ0)时,问题(P4)有一个正解；当λ∈[λ0,∞)时,问题(P4)无非平凡解.(3)当N≥5时,记则当λ∈(0,A1)时,问题(P4)有两个正解；当λ=λ1时,问题(P4)有一个正解；当λ∈(λ1,∞)时,问题(P4)无非平凡解.定理6如果N≥3,p≥2*-1,常数a,b0,则问题(P5)只有零解.定理7如果N≥3,p≥2*-1,常数a,b0,则问题(P6)只有零解.定理8如果N≥3,p≥2*-1,常数a,b,μ0,则问题(P7)只有零解.全文结构如下：第一章介绍了非局部问题和Kirchhoff型问题的研究背景以及近年来的研究进展.第二章陈述了本文所要用到的变分法的相关知识.第三章首先给出了问题(P1)的变分结构,其次利用山路引理证明了问题(P1)非平凡解的存在性与多重性.第四章首先利用本文给出的函数变换将三类Kirchhoff型问题分别化为由一个微分问题和一个积分问题组成的三类方程组,进一步,结合椭圆型问题现有的结论证明了问题(P2)-(P4)非平凡解的存在性.最后,用同样的方法对(P5)-(P7)非平凡解的不存在性结果做了讨论.第五章对全文做了总结,并对今后的研究做了一些展望.
【学位授予单位】：太原理工大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175.2

【共引文献】

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本文编号：1162528