高阶分数阶微分方程多点边值问题解的存在性

发布时间：2017-11-24 02:26

  本文关键词：高阶分数阶微分方程多点边值问题解的存在性

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【摘要】：分数阶微积分理论是关于任意次阶数的微分和积分理论,它与整数阶微积分理论是统一的并且是整数阶微积分理论的推广.而分数阶微分方程是伴随着分数阶微积分学一起发展起来的学科.近年来,随着分数阶微积分理论广泛应用于物理、机械、生物、生态和工程等领域,分数阶微积分理论及其应用受到越来越多的海内外专家学者的普遍关注,特别是从实际应用背景中抽象出来的分数阶微分方程理论,逐渐成为了很多数学工作者的研究热点.分数阶微分方程的边值问题是分数阶微分方程理论研究的重要问题之一,目前已经取得了很多杰出的结果.微分方程多点边值问题则起源于各种应用数学和应用物理学领域,比如水土和湿土微分学、非均匀电磁场理论、以及黏弹性稳定性理论中的问题都可以归结为带有多点边值条件的微分方程.同两点边值问题相比,微分方程多点边值问题的显著特点是它可以更加精确地描述许多重要复杂的物理现象,也具备更加广泛的实际应用背景.例如在人口增长问题、经济增长理论和流体力学等.可见,继续深入研究该领域将促进分数阶微分方程理论的推进和发展,也将继续为其在许多相关科学领域的实际应用提供坚实的理论基础.本文系统地研究了在高阶条件下分数阶微分方程三点边值、四点边值、多点边值、以及积分边值等不同类型的边值问题,涉及解或者正解的存在性、不存在性、唯一性和多重性,得到了一些富有创新性的结果.第一章详细阐述了有关分数阶微积分理论的研究背景、发展进程和研究现状,以及高阶分数阶微分方程多点边值问题的研究现状和在理论与实际应用中的研究意义,并给出有关分数阶微积分理论的基本定义、相关引理和本文所要运用到的主要方法,最后简明扼要地介绍本文研究的主要内容和结构框架.第二章将在奇异与非奇异的不同条件下研究一类分数阶微分方程三点边值问题.利用Banach压缩映像原理、不动点指数理论和Leggett-Williams不动点定理研究了右端函数非奇异的条件下,边值问题正解的存在性、唯一性和多个解的存在性;利用高度函数法研究了右端函数奇异的条件下,边值问题正解的存在性和多个解的存在性.第三章研究了两类分数阶微分方程四点边值问题.其中利用算子和的不动点定理研究了一类分数阶耦合微分系统四点边值问题正解的存在性,利用重合度理论和Mawhin延拓定理研究了一类分数阶四点共振边值问题解的存在性.第四章研究了三类分数阶微分方程多点边值问题.利用Leray-Schauder非线性抉择定理和Banach压缩影像原理,研究了一类分数阶微分方程多点边值问题解的唯一性和存在性;利用单调迭代法研究了一类无穷区间上分数阶微分方程多点边值问题正解的存在性,并给出最大解和最小解的迭代序列;利用Leray-Schauder非线性抉择定理和Leray-Schauder度理论,研究了一类分数阶Langevin微分方程无穷多点边值问题解的存在性.第五章将在奇异与非奇异的不同条件下研究一类具广义p-Laplace算子的分数阶微分方程积分边值问题.利用单调迭代方法和Guo-Krasnosel’skii不动点定理研究了右端函数非奇异条件下正解的存在性和不存在性;利用高度函数法研究了右端函数奇异的条件下,边值问题正解的存在性和多重性.第六章全文的总结与展望.本章将概括总结全文的主要工作和主要创新点,并对该领域未来的相关研究工作进行展望.
【学位授予单位】：济南大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O175.8

【参考文献】

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本文编号：1220717