交流异步电机数学模型的研究

  本文关键词：交流异步电机数学模型的研究，由笔耕文化传播整理发布。

交流异步电机数学模型的研究

朱明　陈觉晓　贡俊　梅卫东

　　【摘　要】　重新研究了交流异步电机的数学模型，提出了用电流角密度法来研究异步电机数学模型和用等效二相转子电流来表达异步电机数学模型的方法，在同步旋转坐标系上推导得到简洁明了的异步电机数学模型。之后将仿真结果与实验结果进行了比较，并以此来验证理论分析，得出了一些重要的结论。
　　【关键词】　异步电机　数学模型　角密度　旋转变换。

Research of Mathematical Model of Induction Motor

Zhu Ming　Zhen Juexiao
(Shanghai University,Shanghai 200072)
Gong Jun
(No.21 Research Institute under the Ministry of Electronics Industry,Shanghai 200233)
Mei Weidong
(Shanghai Applied Mathematics and Mechanical Research Institute,Shanghai 200072)

　　【Abstract】　The author reserches the mathematical model of induction motor by offering the method of current angle density and the equal two phase rotor current,and get the consise mathematical model of induction motor by deduction in the rotational coordinates system.Then,the results of emulation and experiment have been compared by the author to testify the theorical analysis.Finally,some important conclusions have been got.
　　【Keywords】　induction motor　mathematical model　angle density　rotating change

1 引　言
　　交流异步电机相对直流电机具有结构简单、可靠性高、维护方便、造价低、易实现高速运行等特点，由于近年来电力电子技术、微电子技术、计算机技术及控制理论的发展，交流传动系统已经成为电力拖动系统中的研究热点。
　　但由于交流异步电机结构的特殊性，电机输入输出及内部变量之间的相互关系比较复杂，致使以现有的数学模型为基础的交流传动系统较直流传动系统要复杂，因此以现有的数学模型为基础的交流传动系统性能还不够理想。
　　德国学者伯拉斯切克F.Blaschke于1971年提出了“感应电机磁场定向的控制原理”，它以异步电机在转子磁场定向坐标系下的数学模型为基础的矢量控制系统。此模型从异步电机三相原始模型出发，经坐标变换而得。这一控制原理经过实践的不断改进，发展成现今的转差型矢量控制系统、解耦控制系统等。它的出现使交流传动系统具有较好的静动态性能。但是它仍然存在着一些缺点：
　　(1) 数学模型的表达比较繁杂；
　　(2) 矢量控制系统的动态性能仍不尽如人意。
　　交流异步电机强烈的电枢反应致使其内部物理量在横轴和纵轴方向强烈耦合，导致交流异步电机的数学模型要比直流电机复杂得多。但可以充分利用交流异步电机结构比较对称规则的特点，并选择合适的中间状态变量，最大限度地简化电机的数学模型表达式及输入输出变量与中间状态变量之间的关系。
　　简洁明了的数学模型便于对交流传动系统作更深入更本质的研究，同时可以大大简化交流传动系统的设计，提高交流传动系统的性能，从而使交流传动成为电力拖动系统的主流。

2 交流异步电机结构的简化
　　交流异步电机主要由带齿槽的定子铁芯、带齿槽的转子铁芯、定子绕组、转子绕组、外壳、端盖、传动轴、轴承、接线盒等组成。在电机原理分析时最重要的五大部件是定转子铁芯、定转子绕组以及气隙。电机截面结构如图1所示。

图1　交流异步电机结构示意图

　　异步交流电机内部磁路由定子齿、定子轭、转子齿、转子轭、气隙等组成，通过定子槽和转子槽的磁通只是极少的一部分。
　　交流异步电机是一个复杂的系统，为把握系统的主要关系，有必要作出一些假定：
　　假设1　电机外形为圆柱体状，即认为电机是无限长圆柱体中截取的一段，等效长度为Lδ；
　　假设2　电机电磁场分布局限于由电机定子铁芯外表面所界定的区域内，忽略定子铁芯以外空间电磁场的影响；
　　假设3　定子铁芯为各向同性、分布均匀的圆筒状线性铁磁媒质，转子为各向同性、分布均匀的圆柱状线性铁磁媒质，定子转子同轴且等长；
　　假设4　等效气隙为径向厚度均匀的圆筒状线性媒质，单边径向等效厚度为δδ，圆柱面中间半径为Rδ；
　　假设5　电机转子绕组均匀分布在整个气隙中间的圆柱面上，圆周面上的电流只可以沿轴向流动，端部电流可沿径向流动；
　　假设6　电机定子各相绕组以正弦方式分布在整个气隙中间的圆柱面上，圆周面上的电流只可以沿轴向流动，端部电流可沿周向流动；
　　假设7　忽略电机铁芯损耗，忽略其它杂散损耗；
　　假设8　定子漏感由铁芯与电机相同但仅有定子绕组的等效部分产生；转子漏感由铁芯与电机相同但仅有转子绕组的等效部分产生；电机定转子绕组电阻为常数，电机定转子绕组漏感为常数；
　　假设9　定转子铁芯的磁阻及磁压降折算入等效气隙中，即认为定转子铁芯磁导率为无穷大，主磁路等效气隙磁导率为μδ，定子漏磁路等效气隙磁导率为μ1，转子漏磁路等效气隙磁导率为μ2。
　　三相交流异步电机经过上述假设简化为类似定转子绕组为表面绕组的无齿槽交流异步电机，其结构截面如图2所示。

图2　定转子绕组为表面绕组的无齿槽交流异步电机

　　由上述九点假设可得到如下结论：
　　(1) 电机轴向分为主磁路、定子漏磁路、转子漏磁路三个部分，每个部分其横截面磁场的分布情况相同；
　　(2) 气隙中的磁力线方向为射线方向；
　　(3) 气隙中磁场在周向呈正弦分布，每隔2π电角度磁场强度相等、方向相同，每隔π电角度磁场强度相等、方向相反。
　　由于交流异步电机电磁场分布在轴向上相同，电磁场的分布在径向上仅仅考虑气隙中的磁压降，而在周向上的角分布是电磁场分布的主要特征，而且电机的电流电势等也可以用周向上角分布的方法进行研究。

3 二相交流异步电机在静止坐标系上的定子电流密度
3.1 定子各相电流
　　二相交流异步电机输入电流为时间函数，并且各自独立，即：

(1)

其中：I1＝I1(t),τ＝τ(t)；
3.2 定子绕组导体空间分布函数

(2)

其中：θ为电机电气角度；
3.3 定子绕组相电流密度

(3)

式中：Kj为导体密度系数，单位：根/弧度；jX,jY为电流电气角密度，简称电流角密度或简称电流密度，单位：安培/弧度。
3.4 定子绕组合成电流密度

(4)

可见，电流密度分布以同步速旋转。

4 三相交流异步电机与二相交流异步电机的等效
4.1 定子各相电流
　　三相交流异步电机输入电流为时间函数，即：

(5)

交流异步电机通常采用中点悬空的星形接法，则有：

iA(t)+iB(t)+iC(t)＝0

(6)

即三相电流仅两相独立，一相电流可通过另两相计算得到，则三相电流亦可采用另一种形式表达：

(7)

4.2 定子绕组导体空间分布函数

(8)

4.3 定子绕组相电流密度

(9)

4.4 定子绕组合成电流密度

(10)

可见，中点悬空星形接法的三相交流异步电机通过

图3　旋转坐标系与静止坐标系

　　即：旋转坐标系dq坐标系与静止坐标系xy坐标系原点重合、d轴与x轴夹角为γ，空间矢量与d轴夹角为

(14)

(15)

＝θ-γ

(16)

则有：

(17)

定子绕组合成电流密度

j1＝KjI1cos(

(20)

令：

(21)

则：

j1＝j1(

(23)

且：

(24)

(25)

式(24)、式(25)表明了二相电机定子电流与旋转坐标系上电流的关系。

同理：

(26)

(27)

式(26)、式(27)表明了二相电机定子电流与旋转坐标系上电流的关系。

6 交流异步电机在旋转坐标系上的物理方程
6.1 电机定子电流密度在旋转坐标系上的分布

(28)

6.2 转子绕组电流密度

(29)

6.3 定转子绕组合成电流密度

(30)

6.4 主磁路等效气隙磁感应强度

(31)

取二次穿过气隙对应的夹角为π电角度，则有：

(32)

6.5 转子漏磁路等效气隙磁感应强度

(33)

(34)

6.6 转子绕组感应电势

(35)

(36)

(37)

6.7 转子绕组漏感电势

(38)

(39)

(40)

6.8 转子绕组电压方程

(41)

6.9 转矩方程

(42)

(43)

将上述物理方程进行归纳综合得到：

(44)

(45)

令：

(46)

(47)

(48)

经归纳整理得到交流异步电机的动态数学模型表达式为：

(49)

(50)

7 旋转坐标系定向方式的选择
　　在式(21)变换中，可通过λ的取值确定i1d,i1q的关系或通过i1d,i1q取值来确定λ的取值，即参考坐标系选择不同的定向方式可以得到不同的数学模型表达式，通常以所得到的数学模型表达式最简洁、物理意义明确、使用简便为原则。
　　旋转坐标系通常的定向方式有以下几种：
　　(1) i1d＝0或i1q＝0；

(51)

　　(2) i1d＝i1q或i1d+i1q＝0；

(52)

　　(3) i2d＝0或i2q＝0；

(53)

　　(4) i2d＝i2q或i2d+i2q＝0；

(54)

　　(5) i1d+i2d＝0或i1q+i2q＝0；

(55)

　　(6) i1d+i2d＝i1q+i2q或i1d+i2d+i1q+i2q＝0。

(56)

　　这里介绍一种较为简洁的坐标系定向方式：旋转坐标系d轴定向在电机合成电流密度分布幅值上。

(57)

则：

(58)

则电机数学模型表达为：

(59)

　　该组方程形式简洁，状态变量之间的关系明确。
　　在式(58)、(59)表达的电机的数学模型中定子电流和转差为输入量，电磁转矩为输出量，转子电流幅值为状态量。
　　异步电机转矩数学模型状态方程仅有二个状态变量但存在一个变量与变量的乘法环节，输出方程中也有一个乘法环节，从而导致了变量之间的强耦合关系，也导致了输出与输入之间的非线性关系。

8 交流异步电机的稳态数学模型
　　交流异步电机的稳态数学模型可以从动态数学模型演化得到，稳态数学模型比较简单，但对于求解电机动态数学模型方程系数和求解电机的稳态特性是很有用的。
　　当保持I1(t),dτ/dt,ωR(t)各自为常数足够长时间后电机进入稳态。电机稳态数学模型表达如下：

(60)

(61)

　　通过对电机稳态数学模型分析可得，当：

ω2＝ωmax＝±a

(62)

相同电流下电机输出转矩达到最大值：

(63)

　　在额定电流下通过对电机额定点转矩、转速的测试和堵转转矩的测试非常容易地计算出系数a,Kt。
　　通过电机稳态数学模型计算可以得到交流异步电机各种稳态特性，通过稳态试验求得交流异步电机的动态数学模型参数。

9 实验与数字仿真
　　对电机进行试验可得到电机的运行性能曲线，与计算机数字仿真曲线进行比较，以研究模型的可信度。
　　通常进行的电机试验是稳态测试，可得到电机输入与输出之间的关系曲线，电机稳态试验接线如图4所示：

图4　电机试验接线图

　　被试电机铭牌数据如下：
　　电机型号：Y90L-4B；
　　额定功率：1.5kW；
　　额定电压：380V；
　　额定转速：1400r/min；
　　标准编号：ZBK22007-88；
　　额定频率：50Hz；
　　额定电流：3.7A
　　额定转矩：10.2Nm(计算值)；
　　(1) 电流为3.7A，转差为90r/min，转矩转速曲线如图5、6所示：

图5　转矩转速实验曲线

图6　转矩转速仿真曲线

　　(2) 电流为3.7A，转矩转差曲线如图7、8所示：

图7　转矩转差实验曲线

图8　转矩转差仿真曲线

　　(3) 转差为90r/min，转矩电流曲线如图9、10所示：

图9　转矩电流实验曲线

图10　转矩电流仿真曲线

　　从电机稳态试验和对电机稳态数学模型的分析可得到如下结论：
　　(a) 无论电流为何值，转差为零时，电机的输出转矩为零；
　　(b) 电机输入电流为定值，转差不变时，无论速度是否改变，电机的输出转矩亦为定值；
　　(c) 电机输入电流值不变，其输出转矩与转差的关系呈S状曲线；
　　(d) 电机转差不变，其输出转矩与其输入电流值的平方成正比。

10 结论与展望
　　本文采用电流角密度法来重新研究异步电机数学模型，并用等效二相转子电流来表达异步电机数学模型的方法，得到简洁明了的异步电机数学模型表达方式。电流角密度法是一种简单直观的方法。采用电流角密度法研究可在一定程度上了解电磁场物理量在电机内部的分布情况。
　　虽然交流异步电机内部电磁场物理量总体上都以同步速旋转，，并且在稳态时其转速严格一致，但在动态过程中其瞬时速度并不相同。电机内部电磁物理量在同步旋转坐标系上二个垂直正交分量都是脉动直流量。异步电机在同步旋转坐标系上成为定子磁场为脉动直流磁场、转子绕组为短路绕组的隐极式直流电机；直流电机与交流电机得到了统一。
　　从交流异步电机的数学模型可以看出：状态方程中含有一个参数，转矩输出方程中有一个参数，故作者将其称之为交流异步电机的二参数数学模型。
　　由二参数数学模型可知：交流异步电机是一个三输入单输出的二阶非线性强耦合系统。
　　通过电流角密度分布推导异步电机数学模型来研究交流传动系统还有许多的研究工作可以展开，具体如下：
　　① 研究二参数模型下的异步电机参数在线辨识问题；
　　② 以二参数模型为基础研究电机的非线性行为问题；
　　③ 研究以二参数模型为基础的各种交流传动控制系统；
　　④ 研制仅需几个参数便能实现闭环控制的变频器，使变频器成为简单易用的高性能交流传动控制器；
　　⑤ 考虑铁芯损耗与饱和时交流异步电机的数学模型。

作者单位：朱明　陈觉晓　上海大学　上海 200072
　　　　　贡俊　电子部第21研究所　上海 200233
　　　　　梅卫东　上海市应用数学与力学研究所　上海 200072

参考文献
1　冯慈璋.电磁场.北京：高等教育出版社
2　胡之光.电机电磁场的分析与计算.北京：机械工业出版社，1981
3　Blaschke F.Das Prinzip der Feldorientierung,die Grundlage fr die TRANSVEKTOR-Regelung von Drehfeldmaschinen.Siemens-Z,1971,45(10)
4　吕嗣杰译，陈伯时校.电气传动控制.北京：科学出版社，1988

本文1998年6月5日收到

  本文关键词：交流异步电机数学模型的研究，由笔耕文化传播整理发布。