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单因素方差分析的数学模型及其应用.pdf 全文免费在线阅读

发布时间:2016-09-29 13:15

  本文关键词:单因素方差分析的数学模型及其应用,由笔耕文化传播整理发布。


网友lu6966近日为您收集整理了关于单因素方差分析的数学模型及其应用的文档,希望对您的工作和学习有所帮助。以下是文档介绍:2013年 6月第 27卷第 2期阴山学刊 YINSHAN ACADEMIC JOURNAL Jun.2013 V01.27 No.2 单因素方差分析的数学模型及其应用田 兵(包头师范学院《阴山学刊》编辑部,内蒙古包头 014030) 摘要:本文主要介绍了单因素方差分析的数学模型。同时结合实例演示了利用单因素方差分析通过 R 软件编程解决实际问题的过程。关键词:单因素方差分析;模型;平方和分解;检验统计量中图分类号:0212.1 文献标识码:A 文章编号:1004—1869(2013)02-0024一o4 在日常的工作和生活中,影响一件事的因素有很多,人们希望根据各种实验来判断不同的因素对实验结果的影响。例如:不同的生产厂家、不同的原材料、不同的操作规程及不同的技术指标等对产品的质量、性能都会有影响,然而不同因素的影响大小不等。方差分析是研究一种或多种因素的变化对实验结果的观测值是否有显著影响,从而找出较优的试验条件或生产条件的一种常用数理统计的方法。在实验中所关注的数量指标如产量、性能等称为观测值。影响观测值的条件称为因素。因素的不同状态称为水平,一个因素可以采用多个水平。在一项试验中,可以得到一系列不同的观测值。引起观测值不同的原因是多方面的。有的是因为处理方式不同或条件不同引起的,称作因素效应;有的是实验过程中偶然性因素的干扰或观测误差所导致的,称作试验误差。方差分析的主要工作是将测量数据的总变异按照变异原因的不同分解为因素效应和试验误差,并对其作出数量分析,比较各种原因在总变异中所占的重要程度,作为统计推断的依据,由此确定进一步的工作方向在研究实际问题时,我们通常是从最简单的情形人手。单因素方差分析是方差分析的最简单情形——影响其因素只有一个。 1 单因素方差分析的数学模型通常假设试验只有一个因素 A在发生变化,其余的因素没有变化。A有 r个水平 A A …,A,,在水平 A 下进行凡次独立观测,得到试验指标如表 1所示。表 1:单因素方差分析数据其中 表示在因素 A的第 i个水平下的第次试验的试验结果。收稿日期:2013—05—21 作者简介:田兵(1982一),男,山西五台人,硕士,研究方向:数理统计。将水平 A 下的试验结果 …, 看作是来自第 i正态总体置一N(/x , )的样本观测值,其中 , 都是未知的。而且对于每个总体置是相互独立的,考虑线性统计模型』 +占, = ,2,…,r = ,2,…凡, (1) 【 —N(0, 。)且相互独立, 其中 是第个总体的均值, f是相应的试验误差。比较因素 A的 r个水平的差异归结为比较这 r总体的均值。即检验假设风:/xl= 2=…=/x,,H1: l, 2,…, 不全相等。 (2) 记, r r 1 1f1 rt/]..ti,n ni, /.ti一这里表示总和的均值, 为水平Ai所对应指标的效应。因此有∑trio/ =0. 上述模型又可以等价的写成 r if= + i+8 ,,=1,2,…,r,.,=1,2,…,n , J ~N(O, )且相互独立, (3) l, 【∑ i=0. 称模型(3)为单因素方差分析的数学模型,其是一种线性模型。 2 方差分析假设(2)式等价于风: 1= 2=…= ,=0,H1: l, 2,…, ,不全为零。如果风被拒绝,那么就说明因素 4的个水平的效应之间有显著的差异;否则,差异不明显。为了导出 的检验统计量,方差分析法建立在平方和分解和自由度分解的基础上,考察统计量 r ni 1 r ni |s,=∑∑( 一) , =÷∑∑‘ 1 J I ’ ‘ I , l 称|s,为总离差平方和(或称为总变差),其实全部试验数据 与总平均值差的平方和,描述了所有观测数据的离散程度,可以证明如下的平方和分解公式: Sr=SE+SA (4) 其中 r ni . ni r i r .s =∑∑( 一) ,扎=÷∑Xij,S =∑∑( 一) =∑rti( 一) . 这里 Js 是代表随机误差的影响。这是因为对于固定的 i来讲,观测值 ,…, 是来自同一个正态总体 ni N(I.t ,0.2)的样本,因此,它们之间的差异是有随机误差多引起的。而∑( 一.) 是这n 个数据的变动平方和,正是它们差异大小的度量。将 r组这样的变动平方和相加,就得到了 Js ,一般称 Is 为误差平方或组内平方。.s 表示在A 水平下的样本均值和总平均值之间的差异之和,它反映了r个总体均值之间的差异,因为. 是第个总体的样本均值,是 的估计,因此 r个总体均值。, ,…, 之间的差异越大,这些样本均值, :, …, 之间的差异也就越大。平方和∑17,i( i.一) 正是这种差异大小的度量,这里ni反映了第i个总体样本大小在平方和.s 中的作用,称 Is 为因素 A的效应平方和或组间平方和。式(4)表明,总平方和 Js 可按其来源分解成两部分,一部分是误差平方和 5 ,是由随机误差所致;另一部分是因素 A的平方和 5 ,是由因素 的各水平的差异一起的。 25 由模型假设(2)经过统计分析可以得到 E(S )= (n—r)or ,即 Is /( —r)是 or 的一个无偏估计,且~ z(n一). 如果原假设 成立,则有,即此时 S /(r一1)也是的无偏估计,且一 (r一1), 并且 s 与 S 相互独立,因此当 成立时有 F = ~F(r-1,n-r . 于是 F可以作为风的检验统计量,对给定的显著性水平,用 F (r一1,n—r)表示 F分布的上 ot分为点。若 F >F (r一1,n—r),则拒绝原假设,认为因素 A的 r个水平有显著差异。也可以通过计算 P值的方法来决定是接受还是拒绝原假设 Ho。P值为P=P{F(r一1,n—r)>F},它表示的是服从自由度为(r一1,n— r)的 F分布的随机变量取值大于 F的概率。显然,P值小于 ot等价于 F>F (r一1,n—r),表示在显著性水平 o/下的小概率事件发生了。这意味着应该拒绝原假设 。当P值大于,则无法拒绝原假设 ,所以应接受原假设 。将上述分析整理成表的形式,就可以得到方差分析表 2。表 2:单因素方差分析表 3 相关实例 3个工厂生产同一种零部件。现在从各厂产品中分别出取 4件产品做检测,其检测强度见表 3所示。表 3:产品检测数据判断 3个厂生产的产品零件强度是否有显著差异。利用 软件解决上述问题,相应的 软件计算过程如下。解:设零部件的强度为为所考察的因素。3个不同工厂生产能力为 3个水平,从各厂取出的产品所做得检测强度值,视为来自3个正态分布总体的样本观测值。问题归结为检验: 风:IZl= 2= 3= ,Hl:/zl, 2, 3, 4不全相等。程序如下: > intensity< 一data.framef X=C(115,l16,98,83,120,1l4,99,101,106,107,103, 108,107,118,116,104,117,121,111,10

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