分数阶反应扩散系统中的动力学行为

发布时间：2017-12-15 03:09

  本文关键词：分数阶反应扩散系统中的动力学行为

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【摘要】：反常扩散现象普遍存在于物理、数学、生物学以及金融学等诸多领域,分数阶微积分方法被发现可以有效模拟反常扩散过程。近年来,分数阶微分方程作为描述复杂物理过程的模型引起了国内外学者的广泛关注,分数阶微积分在非线性领域中的应用地位也日益凸显。利用分数阶导数建模可以分析和处理与反常现象有关的系统中的动力学行为,已经证实了分数阶模型能够比较准确地描述固有的异常指数或重尾衰变过程以及具有记忆性和非局域性的物理过程。本文采用有限差分法对分数阶反应扩散系统中的动力学行为进行数值研究,主要的内容和结论如下:第一部分:主要对反常扩散以及分数阶微分涉及到的相关基础理论和研究现状进行介绍,同时对本文的研究动机和主要内容进行简要说明。第二部分:利用分数阶艾伦卡恩反应扩散方程作为数学模型研究了一维分数阶反应扩散系统中的动力学行为,给出了分数阶α、系统扩散系数k对系统动力学行为的影响。当改变系统的分数阶α时,系统波解的波形会发生不同程度的变化;波解中峰传播速度随分数阶α的增大表现为不同程度上的递增,其大小将主要依赖于分数阶α以及系统扩散系数k的具体取值。第三部分:采用FHN局部动力学模型对二维分数阶反应扩散系统(具有分数阶导数的扩散项)中的行波脉冲以及行波脉冲链的动力学行为进行了研究。对于一次扰动产生的单个行波脉冲,行波脉冲的传播速度会受到分数阶的影响,其与分数阶α、系统扩散系数的算数平方根成线性比例关系;对于不同的分数阶,行波脉冲传播所需的最小扩散系数是不同的,所需的最小扩散系数与分数阶α之间满足e指数衰减关系。对于周期扰动产生的行波脉冲链,在一些扰动周期的取值范围内,脉冲链的周期eT与扰动周期pT按有理数比锁定,最为明显的1:1与2:1锁定,其相应的扰动周期的取值范围我们称为1:1与2:1锁定带;分数阶α会影响各锁定带在pT轴上的位置,随着分数阶α的值不断减小,锁定带会沿着pT轴的增大方向移动。分数阶2.0,95pα=T=时,处于1:1锁定带,而随分数阶α的不断减小,当α=7.1时,则处于2:1锁定带,进而影响行波脉冲链中的相邻脉冲之间的疏密程度。第四部分:采用FHN局部动力学模型对二维分数阶反应扩散系统(具有分数阶导数的扩散项)中的螺旋波动力学行为进行了研究,发现:分数阶扩散会导致螺旋波的波头发生漂移。当可激性参数ε小于0.00465时,正常扩散的反应扩散系统支持漫游螺旋波,其波头路径由花瓣形的单元组成,减小分数阶α,螺旋波会沿着某一方向漂移。接近正常扩散时,局部的路径仍成花瓣形,但下一个花瓣形路径单元会较上一个花瓣形路径单元有个小的偏离,每次偏离的方向都是相同的,形成了整体的偏离。分数阶α进一步减小,偏离变大,两个花瓣形路径单元间被用圆滚型路径单元相连,这些圆滚型的路径单元的方向是一致的。当分数阶α偏离2.0比较大的时候,螺旋波波头将按照圆滚的方式运动到边界,在分数阶α减小的过程中,向边界漂移的速度是加快的。当可激性参数ε大于0.00465时,正常扩散作用下的系统支持刚性旋转螺旋波,减小分数阶α,螺旋波始终以圆滚的方式漂移到边界,漂移速度随着分数阶α的减小而增大。我们也通过研究螺旋波的恢复变量小值区域随时间演化情况,简单分析了分数阶反应扩散系统中波头漂移发生的过程与机制。最后,对本文研究工作的主要结论进行说明。
【学位授予单位】：河北师范大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O415;O175

【参考文献】

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本文编号：1290382