关于广义维诺格拉多夫二次型在圆球内整点个数问题

发布时间：2017-12-23 09:02

本文关键词：关于广义维诺格拉多夫二次型在圆球内整点个数问题　出处：《山东大学》2016年硕士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：维诺格拉多夫二次型定义为如下的一组方程更一般的情形为如下的方程组其中(0.1)为(0.2)当k=2时的特殊情形,(0.1)作为最初的形式引入被许多的研究者深入的研究过,也有这方面工作的推广,得到许多有价值的结果(见文[1],[2],[3]).许多的作者考虑了这一问题的不同的变换形式和相关的问题.最古典的问题如考虑如下的方程：其中k≥2且k为一自然数,求(x1,x2,x3,x4)在满足|xi|≤N(i=1,2,3,4)整数解的个数.当k取不同的值时,方程(0.3)整数解的分布情况会有截然相反的变化。当k≥3时,Hooley(见文[4],[5],[6])证明了大概有4N2的整数解在对角线上,即满足x1=x3,x2=x4或者x1=x4,x2=x3的整数解的个数,而不在对角线上整数解的个数的阶要低一些.而当k=2情形下,方程(0.3)在矩形中大概有N2logN整数解,而此时方程在对角线上解的个数为N2,这表明在这种情况下对角线上整数解的个数不占主导地位.类似的,我们考虑(0.2)在满足|xl,i|≤N时整数解的个数.令VK(N)表示为满足这个条件的整数解的个数.那么,根据(0.4),可以得到那么根据定理(1.1)我们有如下的估计运用初等的方法我们在想法上也能得到玩(N)的渐进公式,但可能得到的结果跟分析上的方法相比较要弱一些.实际上,当k=2时,我们运用Dirichlet的双曲方法我们能得到如下的结果：其中c为一常数.将以上的结果与(0.6)相比较,可以验证刚才的结论.本文中我们考虑方程组(0.2)在满足一定条件下整数解的个数的分布情况.记VK(N)为满足在一个圆球内的整数解的个数我们主要通过对Riemann-zeta函数在水平线上1/2≥σ≥1更精确的估计以及利用Riemann-zeta函数的均值估计改进了Valentin Blomer和JorgBrudern最新的研究结果(参见[7]),并假定若满足Lindelof猜想我们能得到更好的结果.文章分为四个部分.第一部分系统的介绍了本课题的研究背景,给出了本文的主要结果：定理1.1令k≥2是一个任意固定的自然数.当k=2,3时,对任意δ满足实数,我们有Vk(N)=N3Pk(logN)+O(N3-δ)(0.5)其中Pk是次数为2(k-1)-1多项式.定理1.2令k≥2是一个任意固定的自然数.当k≥4时,对任意δ满足实数,我们有Vk(N)=N3Pk(logN)+O(N3-δ)(0.6)其中Pk是次数为2(k-1)-1多项式.特别地,当k=2时,我们有P2(x)=48(x+c),其中其中x表示模3的非主特征,我们还得到如下更好的结果：V2(N)=N3P2(logN)+O(N2logN). (0.7)定理1.3令k≥3是一固定的任意自然数.如果假定Lindel6f猜想对于ζ(s)和L(s,x)是正确的,那么,对于任意满足0δ1实数,我们有如下的公式：Vkl(N)=N3Pk(logN)+O(N3-δ).第二部分介绍了需要证明定理的所需的预备知识,主要介绍Riemann-Zeta函数的高次均值估计,运用截断的Mellin积分变换,然后运用柯西留数定理进行积分估计.根据k不同的取值范围,分别通过Riemann-zeta函数在水平线上的估计或者运用ζ(σ+it)均值估计得到积分的估计,选取恰当的参数,进而得到更好的结果.第三部分根据Valentin Blomer和Jorg Brudern的想法(见文[7]),我们把计算满足方程组(0.2)的圆内整点个数与二元二次型联系起来,通过一些简单的代数数论方面的知识,将主要定理转化为引理的表达形式.第四部分是定理的证明.主要是根据约化后的形式的定理,主要运用了J.Bourgain在ζ(1+it)最新的估计,Phragmen-Lindelof凸性原理以及ζ(σ+it)的均值估计,从而得到本文的主要定理.
【学位授予单位】：山东大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O156

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