几类非线性系统的极限环个数

发布时间：2018-01-27 07:15

  本文关键词： 相图 Hilbert第16问题 Hilbert数 Hamiltonian系统 分片近-Hamiltonian系统 Lienard系统 可逆系统 同宿环 异宿环 三角形异宿环 同宿环轨道稳定性 Hopf分支 Poincare分支 同宿分支 异宿分支 环性数 首阶Melnikov函数　出处：《上海师范大学》2016年博士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：非线性系统在物理、生物等科学中具有广泛的应用.这些学科中的许多现象如振动、捕食-食饵、物种增长等常需要用非线性系统所确定的数学模型来描述.因此,通过对非线性系统解的相关性质的研究来分析这些系统的动力学行为,具有重要的理论和实际意义.本文以几类非线性系统为研究对象,对其相图、Hopf分支、Poincare分支、同宿分支与异宿分支进行深入的研究,获得了一些有趣的结果.首先,给出了研究光滑与非光滑近-Hamiltonian系统极限环个数的双参数扰动方法,对光滑与非光滑近-Hamiltonian系统引入双参数,导出相应的首阶Meilnikov函数的显式表达式,来研究系统的极限环个数.应用此方法,我们研究了一类分片二次多项式系统和一类三次多项式系统的极限环的最大个数,此问题分别被[Llibre and Mereu, J-MAA(2014)]口[Li and Zhao, IJBC(2014)]进行研究；与这些结果相比,用双参数扰动方法可以多获得一个极限环.应用此方法,我们研究了含三角形异宿环的二次多项式系统在二次多项式扰动下从三角形异宿环附近可分支出最大极限环的个数问题,又称三角形异宿环环性数,证明了文献[Wang and Han, JMAA(2015)]中定理5.2的结论.应用此方法并结合引进一些新的思想(比如：属性Z(n,m, l)),我们研究了一类多项式Lienard系统的Hilbert数并给出了该数的下界,改进和丰富了已有结果.近年来,[Han et al, JDE(2009)]获得了含m-阶幂零尖点同宿环的C∞° Mamiltonian系统在任意C∞系统扰动下所产生的首阶Melnikov函数在此环附近的近似展开式,并给出了m=1的部分系数的计算公式；之后,[Atabaigi et al.,NATMA(2012)]获得m=2的部分系数的计算公式.本文对一般的m进行探讨,给出了一种计算所有的m≥2的部分系数表达式的方法.特别地,利用此方法给出m=3部分系数的表达式,并利用这些系数给出了在同宿环附近出现极限环的充分条件,同时也给出了相应的应用并改进了已有的结果.显然,幂零尖点是高次奇点.一般而言,高次奇点周围呈现复杂的轨线结构.进一步,本文对一类含高次奇点的可积系统在高次奇点处的局部相图进行分析,获得所有可能的相图；其次当出现同宿环时,扰动该系统,得到了相应的首阶Melnikov函数在同宿环附近的近似展开式,同时给出部分系数的表达式；并且利用这些系数给出存在极限环的充分条件.最后,我们对一类分片多项式系统的极限环个数进行了研究.首先,给出未扰动系统在出现一簇闭轨族时所有可能的相图(共42种),并对满足其中一种相图的系统进行分片多项式扰动,研究了Hopf分支和同宿分支.在非光滑情形下,通过建立Poincare映射获得判定同宿环轨道稳定性的判定准则；建立了改变同宿环轨道稳定性来研究同宿分支和异宿分支的方法并给出了相应的应用,发现了Alien极限环并给出其一般性的定义.
[Abstract]:Nonlinear systems are widely used in physics, biology and other sciences. Many phenomena in these disciplines such as vibration, predator-prey. Species growth often needs to be described by mathematical models determined by nonlinear systems. Therefore, the dynamic behavior of nonlinear systems is analyzed by studying the related properties of the solutions of these systems. It is of great theoretical and practical significance. In this paper, the phase diagram Hopf bifurcation Poincare bifurcation, homoclinic bifurcation and heteroclinic bifurcation are studied. Some interesting results are obtained. Firstly, a two-parameter perturbation method is given to study the number of limit cycles of smooth and non-smooth near-Hamiltonian systems. Two parameters are introduced to smooth and non-smooth near-Hamiltonian systems, and the explicit expressions of the corresponding first-order Meilnikov functions are derived. Using this method, we study the maximum number of limit cycles for a class of piecewise quadratic polynomial systems and a class of cubic polynomial systems. [Llibre and Mereuu, J-MAAMAA 2014]. [Li and Zhao, IJBC (2014); Compared with these results, a new limit cycle can be obtained by using the two-parameter perturbation method. In this paper, we study the problem of the number of maximal limit cycles of quadratic polynomial systems with triangular heteroclinic rings, which can be branched from the vicinity of triangular heteroclinic rings under the disturbance of quadratic polynomials, also called the number of triangular heteroclinic rings, and prove the literature. [Conclusion of Theorem 5.2 in Wang and Han. JMAA (2015). Applying this method and introducing some new ideas (for example, attribute Zang NM, LU). In this paper, we study the Hilbert number of a class of polynomial Lienard systems and give the lower bound of the number, which improves and enriches the existing results. [Han et al. JDEG 2009). In this paper, we obtain the C 鈭，

本文编号：1467928