基于有限几何的有向强正则图与结合方案的构作

发布时间：2018-03-04 14:34

  本文选题：有向强正则图　切入点：结合方案　出处：《河北师范大学》2016年博士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：距离正则图是代数组合论研究的主要对象之一,它对应于一类特殊的结合方案,与有限几何、组合设计以及编码理论等有着密不可分的联系.强正则图作为直径为2的距离正则图,更是学者们研究的一个热点Duval于1988年将强正则图概念推广到了有向强正则图.2013年,Dam和Omidi引进了强步正则图这一概念,2015年他们又将此研究推广到了有向强步正则图,这使得强正则图理论的研究更加深入,丰富.本文主要基于有限几何构作了四类有向强正则图和一类结合方案,此结合方案中三个关系图的并是所构作的第二类有向强正则图的补图.本文计算了有向强正则图的参数与结合方案的交叉数,并得到第一类图的全自同构群和该结合方案的自同构群.首先,我们利用有限域上秩为1的矩阵构作了有向强正则图Ⅰ.对于q元有限域Fq上任意n级方阵X,令[X]={tX|t∈Fq*],且我们用X代替[X].定义图T(n,q)是以{X|X∈Fq(n×n),r(X)=1,X2=0}为顶点集的有向图,对于两个顶点A,B,A→B当且仅当AB≠0.类似地,定义图T'(n,q)是以{X|X∈Fq(n×n),r(X)=1,X2≠0}为顶点集的有向图,邻接关系定义为A→B当且仅当AB=0.则T(n,q)和T'(n,q)均为有向强正则图,我们分别确定了它们的参数和全自同构群.其次,我们以F。上n-维射影空间中全体s-flats作为点集P,全体m-flats作为区组集召,其中0smn,建立一个关联结构T(s,m;n,q)=(P,B,∈),点与区组的关联关系定义为flats之间的关联关系.我们利用关联结构T(s,m;n,q)定义图Ⅱ.图T(s,m;n,q)是以{(X,Y)∈P×B|X ∈Y}为顶点集的有向图,邻接关系定义为(X1,Y1)→(X2,Y2)(?)(X1,Y1)≠(X2,Y2),X1 ∈Y2对于任意一个(s-1)-flat K,定义图T(s,m;n,q,K)为T(s,m;n,q)中由{(X,Y)∈VT(s,m;,q)|K(?)X}诱导所得到的子图.则T(s,m;n,q)是一个11/2-设计当且仅当s=0或m=n-1.T(0,m;n,q), T(s,n-1;n,q)和T(s,m;n,q,K)均为有向强正则图,且T(s,m;n,q,K)的参数与K的选取无关.然后,我们利用迹函数和1-维子空间分别构作了有向强正则图Ⅲ和Ⅳ.最后,我们利用有限域上n-维向量空间中1-维子空间与2-维子空间的有序对得到了一类结合方案.令Mm为Fq上n-维向量空间中全体m-维子空间构成的集合,其中n4.设X={(A,B)|A ∈M1,B ∈M2,(?)B}.Fq上n阶一般线性群GLn(Fq)在X上的作用是可迁的,自然地诱导了一个类数为6的结合方案(?).我们计算了(?)的交叉数,并确定了其自同构群.
[Abstract]:Distance regular graph is one of the main objects in the study of algebraic combinatorial theory. It corresponds to a class of special associative schemes and finite geometry. Combinatorial design and coding theory are closely related. Strongly regular graphs are regarded as distance canonical graphs with a diameter of 2. In 1988, Duval extended the concept of strongly regular graphs to strongly regular graphs. In 2013, the concept of strongly regular graphs was introduced by Omidi and Dam. In 2015, they extended this study to strongly regular graphs. In this paper, four kinds of strongly regular graphs and a class of associative schemes are constructed based on finite geometry. The complements of three relational graphs of the second kind of strongly regular graphs are constructed. In this paper, the cross numbers of the parameters of the strongly regular graphs and the associative schemes are calculated. The total automorphism group of the graph of the first kind and the automorphism group of the associative scheme are obtained. In this paper, we construct a strongly regular graph by using a matrix with rank 1 over a finite field 鈪，

本文编号：1566044