复杂系统中的相变与临界现象

发布时间：2018-03-06 15:23

本文选题：复杂系统　切入点：临界现象　出处：《兰州大学》2017年博士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：随着近些年实验技术的发展,人们能够获得复杂系统中所有个体行为的精确数据,在这些实证数据中人们观察到大量的无标度行为,其中一部分现象暗示了一些真实系统可能处在临界状态。由于复杂系统动力学和结构的复杂性,复杂系统临界行为常常展现出新的普适类与强非平衡特征。因此对复杂系统临界行为的研究一方面以统计物理连续相变理论为基础,另一方面也促使人们提出一系列具有独特临界行为的相变模型,从而帮助人们从不同的角度理解相变与临界现象。在本论文中,我们将从系统结构和动力学两方面研究系统的临界现象。在本论文第一章中,我们主要介绍了本论文涉及到的相关基础知识,包括物理系统中的相变临界现象,复杂系统中的临界现象,复杂系统的结构特征与复杂网络表示。同时在这一章中我们也阐述了我们的选题动机与本论文组织结构。Clique是一种局部完全连接子图结构,其对复杂网络社团结构划分与动力学稳定性具有重要影响。一般认为相变临界指数只依赖系统空间维数与序参量维数,然而人们在ER图上的clique渗流相变中观察到系统普适类会随系统参数改变而改变。为了检验相变普适类假说,在第二章我们对二维Moore晶格上的clique渗流相变进行了研究,并发现二维clique渗流相变不会因为描述clique间连接的参数不同而表现出不同的普适类。对系统的解析分析也支持了这一观点。同时我们提出了一种严格可解的无穷维clique渗流模型,严格解析证明这一系统与键渗流具有相同的临界指数。这从另一个方面证明ER图上clique渗流相变的独特临界现象是由于ER图结构的特殊性导致的。在clique渗流相变研究中我们提出了一种用于估计临界指数的数值方法。这一方法可以应用于复杂网络上其他渗流模型的临界现象研究。我们利用这一方法研究了二维晶格上的爆炸渗流相变与ER图上的k-core渗流相变,计算得到的临界指数与已有工作的结果相同,同时我们发现k-core渗流的不连续性与临界现象分别来自集团的最大特征融合与第二特征融合。我们在第二章最后研究了渗流模型的涨落关联。我们发现系统涨落关联矩阵的本征值与本征值分布都具有临界行为。不同维度系统的数值计算结果暗示了涨落关联矩阵的谱具有一个简单标度形式。同时,我们发现通过次大集团定义节点状态可以在渗流模型中获得类似集体运动中观察到的涨落关联标度形式。在动力学导致的临界行为中,我们研究了复杂系统中的流量涨落、供需系统的级联失效问题与少数者博弈中的动力学模式转变。人们发现真实输运过程中,系统的流量涨落可以分为两种标度行为。随后提出的流量涨落理论成功地解释了这一现象。但这一理论在小系统数值试验中发生了严重偏离。在第三章中,我们提出了一个修正的流量涨落理论,能够准确地估计小系统在弱涨落的外界驱动下的流量涨落行为。而在强涨落驱动时这一理论可以退回到原流量涨落公式。我们发展了流量涨落理论,提出了可以描述一个区域的流量涨落行为的理论。这一理论可以在不跟踪流量路径的前提下精确地估计区域对流量的反射与两节点间的共享流量。供需系统是常见的一类复杂输运系统,在本论文中我们研究了一种简化供需系统的级联失效问题。我们发现系统的级联失效会沿着特定结构传播。同时系统的冗余存在一个临界程度。当冗余较小时,系统非常容易因为单边失效而出现级联失效,且失效规模趋于常数。当系统冗余较高时,系统中存在一个临界层,随着失效靠近临界层,失效传播的时间会幂律地增加。在冗余参数靠近临界值时,系统的失效规模与失效传播时间都表现出临界行为。我们从相互依赖网络的渗流模型角度解释了供需系统中的丰富的临界现象。在第三章的最后,我们研究了少数者博弈中的动力学模式转变的临界变化。我们发现多资源少数者博弈中可以出现三分组三周期行为。当系统靠近临界点时,有限规模系统的周期三轨道寿命会指数衰减,而衰减的指数因子会随系统规模增加而幂律增加。我们给出了周期三轨道寿命与吸引盆的解析分析,同时分析了更高周期轨道出现的可行域。在第四章中我们对本论文做了全面的总结,并对未来的研究方向做了展望。
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【学位授予单位】：兰州大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O157.5;O414.13

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