具有Caputo导数的分数Navier-Stokes方程的适定性
本文选题：Navier-Stokes方程 切入点：Caputo分数阶导数 出处：《湘潭大学》2017年博士论文 论文类型：学位论文
【摘要】：本文主要研究了阶数为α∈ (0,1)的具有Caputo导数的时间分数阶Navier-Stokes方程,这类方程可以用来模拟分形介质中的反常扩散现象.我们主要讨论它的适定性.本文的工作主要分成五个部分:在第二章中我们首先通过把Helmholtz投影子作用到目标方程上消去压强项,将其转化为抽象形式的发展方程;然后根据分数阶发展方程理论给出其相应的积分方程并定义适度解;利用半群理论和不动理论得到方程的全局适度解和局部适度解的存在唯一性;进而得到古典解的正则性.第三章我们沿用第二章的方法得到同样的抽象分数阶发展方程,利用迭代法得到局部适度解的存在唯一性以及其Holder连续性;然后使用不动点方法得到近似方程的适度解(又称近似解)的存在唯一性,同时也得到近似解的收敛性;最后得到了Faedo-Galerkin近似的一些收敛性结果.第四章是使用能量方法来处理时间分数阶Navier-Stokes方程.本章主要分成两个部分:第一部分利用光滑化过程构造正则化方程,这就将无界微分算子转化为有界算子;然后得到局部近似解(又称正则化方程的局部解)以及其满足的性质.第二部分强调对近似方案取极限的过程,从而得到一种新的全局解结果.第五章定义了一个新的适度解和两个新的解算子,并利用调和分析的工具研究了解算子的性质.然后借助辅助空间建立了解在Sobolev空间中的两种局部存在性结果.第六章是利用经典的Galerkin估计和分数阶微积分理论得到方程弱解的存在性;然后得到弱解在R2中的唯一性;最后得到最优控制的一个存在性结果。
[Abstract]:In this paper, the fractional Navier-Stokes equation with Caputo derivative is studied. This kind of equation can be used to simulate the anomalous diffusion phenomenon in fractal media. We mainly discuss its suitability. The work of this paper is divided into five parts: in chapter 2, we first apply the Helmholtz projector to the target. Elimination of the pressure term from the equation, Then according to the theory of fractional evolution equation, the corresponding integral equation is given and the appropriate solution is defined. By using the semigroup theory and the fixed theory, the existence and uniqueness of the global and local moderate solutions of the equation are obtained, and the regularity of the classical solutions is obtained. In chapter 3, we obtain the same abstract fractional evolution equation using the method in chapter two. The existence and uniqueness of the local moderate solution and its Holder continuity are obtained by iterative method, then the existence and uniqueness of the moderate solution (also called approximate solution) of the approximate equation is obtained by using the fixed point method, and the convergence of the approximate solution is also obtained. Finally, some convergence results of Faedo-Galerkin approximation are obtained. Chapter 4th deals with fractional Navier-Stokes equations with energy method. This chapter is divided into two parts: in the first part, regularization equations are constructed by smoothing process. In this way, the unbounded differential operator is transformed into a bounded operator, and then the local approximate solution (also called the local solution of the regularized equation) and its satisfying properties are obtained. The second part emphasizes the process of taking the limit for the approximate scheme. In Chapter 5th, a new moderate solution and two new solution operators are defined. The properties of solution operators are studied by means of harmonic analysis. Then two local existence results of solutions in Sobolev spaces are established by means of auxiliary space. Chapter 6th is obtained by using classical Galerkin estimators and fractional calculus theory. The existence of weak solutions to the equation; Then we obtain the uniqueness of weak solution in R2 and finally obtain an existence result of optimal control.
【学位授予单位】：湘潭大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O175
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，本文编号：1636044
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