几类微分方程的伯恩斯坦定理研究

发布时间：2018-04-05 21:32

本文选题：平均曲率流　切入点：自相似解　出处：《广西师范大学》2017年硕士论文

【摘要】：近些年来,有诸多学者研究拉格朗日平均曲率流的自相似解的各种刚性定理,自相似解可以分为两类情形:自相似收缩解(self-shrinking)和自相似膨胀解(self-expanding solution).相对于自相似收缩解刚性定理研究,自相似膨胀解的刚性定理研究难度更大,因此自相似膨胀解的刚性定理研究至今仍无较大进展.本学位论文主要方程模型是基于如下蒙日安培型方程我们知道这类方程是伪欧式空间中拉格朗日平均曲率流的自相似收缩解.其对应的自相似膨胀解本文主要研究几类微分方程解的伯恩斯坦定理,也就是说二阶方程的伯恩斯坦定理,即什么条件下对应方程的解是二次多项式.进而完善自相似解刚性定理内容.本文一共分为四章,具体内容安排如下:第一章为绪论,主要是介绍拉格朗日平均曲率流问题的研究背景和现状,以及高余维子流形伯恩斯坦定理简述,并给出文中所用到的定义和引理、命题及主要定理.第二章考虑伪欧式空间的拉格朗日平均曲率流的自相似膨胀解,自变量维数为1的情况,的解的伯恩斯坦定理.利用偏微分方程中Cauchy-Kowalevskya定理.对所得引理中的解的性质进行适当的放宽,得出本节主要结果.然后考虑将方程进行一般化的推广,对函数F做一定的限制,得出满足方程(0.1)的解析解必然可以表示为一个二次多项式,同样利用偏微分方程中Cauchy-Kowalevskya定理,对所得结论中解的正则性要求进行放宽,最后得出本节主要定理.第三章考虑伪欧式空间的拉格朗日平均曲率流的自相似收缩解,自变量维数为1的情况的解的伯恩斯坦定理.我们对v的自变量t = 0处邻域进行泰勒级数展开,得到类似于第二章的引理.同样的利用偏微分方程一般理论中的Cauchy-Kowalevskya定理,对引理进行适当的条件放宽,最后得到本文的主要结果.进一步将本章节的方程进行一般化推广,对函数F做一定的限制,得出方程(0.2)的解析解的表达式必然是一个二次多项式这一引理,利用偏微分方程一般理论中Cauchy-Kowalcvskya定理,对引理中的解的正则性要求进行放宽。于是得到本文主要结论.第四章考虑一类偏微分方程一维情形的解伯恩斯坦定理本节中我们创新性的给出了一种新的证明方法,使得证明过程更为简洁.得出方程的解可表示为一个二次多项式.第五章作为本文的结束语,以及对本文问题的主要工作以及创新点进行总结说明,并且对进一步研究提出假设.
[Abstract]:In recent years , many scholars have studied various rigid theorems of the self - similarity solution of Lagrangian mean curvature flow , which can be divided into two categories : self - similarity and self - expanding solution . In the second chapter , we consider the Bernstein Theorem of the solution of the Lagrange mean curvature flow in the pseudo - Euclidean space , and then we can obtain the main results of this section . The second chapter takes into account the theorem of Cauchy - alevskya in the generalized theory of partial differential equations , and gives a conclusion that the analytic solution to the equation ( 0.1 ) is a quadratic polynomial .

【学位授予单位】：广西师范大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O175

【参考文献】