关于Hecke特征形的若干问题

发布时间：2018-04-07 15:47

  本文选题：Hecke特征形　切入点：模形式　出处：《山东大学》2017年博士论文

【摘要】：Hecke算子是一类模形式空间构造以及一般自守表示被广泛应用的"均值"算子,在模形式理论中有很重要的地位.1917年,Mordell最先在研究Ramanujan给出的一个特殊尖形式时,使用了这类算子.1937年,Hecke给出了它的一般性定义.对于整数k,正整数n以及权为k的模形式(f),Hecke算子T_n定义为Hecke算子有很多很好的性质,比如,它的乘法是结合的且可交换的(因此Hecke算子生成一个交换代数,称Hecke算子代数),此外,它还是可乘的以及在Petersson内积下为自共轭的等等.Hecke特征形f(z)(在SL_2(Z)的情形下经常也被简单的称为特征形)是一个模形式,且是所有Hecke算子的特征向量.也就是说,对于所有正整数n,存在复常数λ(n),使得(T_nf)(z)= λ(n)f(z).Eisenstein级数就是特征形的一个简单例子,它也是仅有的非尖形式的特征形.△函数是另一个典型的权为12的特征形.Hecke特征形f(z)的Fourier展式为若a_0 = 0,则为Hecke尖形式;若a_1 = 1,则称其为正规化的.不失一般性,本文中探讨的都是正规化的Hecke特征形.Hecke特征形是数论研究中的一个很重要的问题,在数学分析,组合数学和物理学中也有广泛的应用.它是数学家研究的热点问题,近年来,Ahmad,Wissam,Holowinsky,Luo,Ono,Soundararajan,Samak 等很多优秀的数学家都在这方面有很多杰出的成果(见[6,13,20,21]等).本文中,我们将研究尖形式(也就是说,相应Fourier展式中a0 = 0)下Hecke特征形的的两个问题,分别是它的非平凡素数问题和周期多项式零点分布问题.首先我们介绍关于Hecke特征形的非平凡素数问题.取偶数k4,令M_k(或S_k)为SL_2(Z)上权为kk的正则模形式(或尖形式)组成的有限维C-向量空间;此外,令M_k~i为SL_2(Z)上权为k的弱正则模形式组成的无限维空间(见[18]).对于一个亚纯模形式,若它的极点(如果存在的话)都在尖点处,则它为弱正则的.我们记SL_2(Z)上的模形式在无穷远点处的Fourier展式为令O_L为数域L下的代数整数环,对于正规化的Hecke特征形如果存在对应于素数P的素理想p(?)O_L使得a_f(p)= 0(mod p),那么我们称f(z)是p非平凡的.对于f(z)上的非平凡素数分布,一个很著名的问题如下(见Gonv(?)a的说明性文章[7]).问题对于一个一般性的正规化Hecke特征形f(z),它有无限多的非平凡素数吗?尽管对于SL_2(Z)的某些同余子群上的模形式(比如CM尖形式,权为2的关于Q上的椭圆曲线的newform等等)有更强的结果,但这一问题目前并没有太多的结果.2005年,Choie,Kohnen和Ono[2]得到了关于p = 2,3,以及δ(k)≠0时p≥ 5的一个结果.我们并没有解决这一问题,它依然是开放的.但是,我们在Choie,Kohnen和Ono的基础上得到了下面这个相关结果.定理1 对于任意的有限多个素数组成的集合S,都有无限多个SL_2(Z)上的Hecke特征形使得所有的p ∈ S对于它们都是非平凡的.然后我们探讨关于Hecke特征形的周期多项式零点分布问题.对于模形式来说,一个很自然(而且有用)的问题就是研究它的Eichler积分的有关性质.尽管ε_f(z)并不是一个模形式,但是它可以跟模形式的周期函数联系起来,这是关于f(z)的另一个很重要的课题.该周期函数定义为它的偶部和奇部分别为特别的,令Γ为PSL_2(R)的离散子群,且i∞为它的一个抛物尖点.对于尖形式f(z)∈S_k(г),k ∈ 2Z≥0,相应的周期函数即不难看出,此时r_f(z)为k-2次多项式,它的系数包含f(z)的相关L-函数的特殊值L(f,1),L(f,2),...,L(f,k-1),为它们的一个生成函数(见[17]).也就是说,这样的周期多项式提供了 Eichler积分和L-函数的特殊值的联系.相应L-函数的特殊值在算术几何和数论中也是一个很重要的研究对象.对于周期多项式的一般性质,见[3,16,17,25,32];其余跟本文相关的文章有[8,23].与Hecke特征形相关的周期多项式的零点分布问题是一个重要的课题.由函数方程,它们被猜测位于相应圆周上,由于与Riemann猜想的相似性,这也被称为周期多项式上的Riemann猜想.2013 年,Conrey,Farmer 和 Lnamoglu 在[4]中证明 了对于 Hecke 特征形f ∈S_k(SL_2(Z))来说,它的周期多项式的奇部在0,±2,±1/2有简单零点,在±1有双重零点,其余零点都落在单位圆周上.2014年,El-Guindy和Raji[6]更进一步的证明了所有Sk(SL_2(Z))中的Hecke特征形对应的周期多项式的零点全部位于单位圆周｜z｜ = 1上.在本文中,我们探讨算术Hecke群H_q上Hecke特征形以及г_0(N)上相应的newform的周期多项式的零点分布问题.除了延拓了 El-Guindy和Raji的结果之外,我们还证明了随着k → ∞,相应的零点趋向于均匀分布.关于算术Hecke群,我们的结果如下:定理2 令г为某个Hecke群H_3,H_4,H_6或H_∞.若Hecke特征形f(z)=∑_(n≥1)a_nq~n∈S_k(г)的权k充分大,那么相应的周期函数rf(z)的零点都在单位圆上.此外,随着k→ ∞,零点趋向于平均分布.值得一提的是,从证明过程中可以得知,满足Ramanujan-Petersson猜想的情形下,定理2的前半部分结论对一系列包含的PSL_2(R)的离散子群г上的Hecke特征形都成立.对于г_0(N),我们对Hecke特征形的子集newform也得到了相应的结果.Newform构成空间,它是正规化的尖形式,而且是所有Hecke算子以及Atkin-Lehner对合(这里p｜N)和Fricke对合的特征形.定理3 令f(z)∈S_k(г_0(n)为newform.若K≥4,那么相应的周期函数rf(X)的零点都在圆.将rf(z)限制到圆周上,我们将其转化为了关于三角多项式的问题,通过研究相应的符号变换数量,我们可以得到定理3.此外,我们发现当权kk或级N充分大时,rf(z)的零点在圆周上的分布是有规律的,更进一步的确定相应三角多项式根的位置,我们就得到了下面的定理.定理4 对newform f(z)∈ S_k(г_0(N)),以下命题为真.(i)令= 4.当∈(f)=-1时,r_f(z)的零点为±i/N∈(f)= 1时,对于充分大的N,r_f(z)的零点位于.(ii)令偶数k≥6,若N或充分大,则r_f(z)的零点可被写为其中,对于0≤L≤2m-1我们定义θ_l为方程在区间[0,2π)内的唯一解.
[Abstract]:Hecke operator is a modular form space structure and general automorphic representation is widely used "mean" operator, in modular form theory has a very important position in.1917, Mordell is the first in a special form of Ramanujan tip are given when using this type of operator.1937, Hecke gives its general the definition for integer k, integer n and right to die in the form of K (f), Hecke operator T_n is defined as the Hecke operator has many good properties, for example, it is a combination of multiplication and commutative (hence the Hecke operator generates a commutative algebra, called Hecke algebra), in addition, it is by Petersson and the inner product is self adjoint and so on characteristics of.Hecke f (z) (SL_2 (Z) in the case often is simply called the characteristic shape) is a modular form, and the feature vector is all Hecke operator. That is to say, for all positive integers n, 瀛樺湪澶嶅父鏁拔，

本文编号：1719834