非线性期望下极限定理的研究

发布时间：2018-08-05 19:44

【摘要】：近年来,为了解决统计、风险度量、数理经济学等领域中许多经典概率理论难以处理的问题,各种非线性概率与非线性期望应运而生,并且得到了广泛的研究与长足的发展。为了解决统计力学,势论中的问题,Choquet(1954)提出了容度和Choquet期望的概念,而后Choquet期望被广泛运用于统计以及不完备市场中的资产定价问题。Peng(1997)提出了一个基于倒向随机微分方程(BSDE)的非线性期望-g-期望,后来的研究表明g-期望可以很好地刻画金融中的非线性风险。Delbaen(1998),Artzner等人(1999)首次提出了相容风险度量(Coherent Risk Measure)这一全新的非线性风险度量的概念。为了描述金融中的波动率不确定性问题,Peng(2007a)在给出了一般的次线性期望的概念之后,提出了具有方差不确定性的G-正态分布的概念,进而引入了一个典型的次线性期望G期望。总结这些研究发现,这些非线性期望在运用于解决金融中的非线性风险度量与不完备市场中的资产定价等相关问题时,他们的本质就是次线性期望。故我们可以将他们转化为更为一般的次线性期望进行研究。另外,经典的大数定律与中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位。随着容度、非线性期望的提出,关于容度与非线性期望的极限理论一直是学者们关心和研究的热点问题,并且在金融中的非线性风险度量与资产定价等领域得到了广泛的应用。而经典的极限定理的证明依赖于概率测度与期望的可加性,由于次线性期望不再具有可加性,经典的证明方法大多不再适用,这就使我们证明次线性期望下的极限定理变得更为困难。如何对前人的结果加以改进,获得次线性期望下的大数定律和中心极限定理的更精确的结果,进而完善次线性期望理论体系,使其能更好地解决金融、经济、统计中的各种问题,是值得思考并具有重大意义的。针对以上问题,本文主要研究了次线性期望下的大数定律及中心极限定理。本文的创新点如下:1.得到了次线性期望下两种形式的弱大数定律,并给出了它们之间的等价关系。发现了随机变量序列均值并不依概率收敛于某一确定的值,而是在下容度意义下弱收敛到下期望到上期望这一区间中,并且在上容度意义下弱收敛到这一区间中的每一个点。2.研究了次线性期望与Choquet期望的大小关系,并发现了与经典大数定律不同的是,在次线性期望下一阶矩存在不足以保证强大数定律的成立,进而给出了控制一阶矩条件下的强大数定律。3.获得了次线性期望下强大数定律成立的一个一般性矩条件,进而利用之前弱大数定律的结论,得到了在这一条件下强大数定律的两个更细致的结果,并证明了在次线性期望下这一矩条件是保证强大数定律成立的最弱矩条件。4.获得了次线性期望下一系列非独立条件下标准化因子为更一般的{an}时的强大数定律。5.给出了次线性期望下的Berry-Essen界和中心极限定理,根据正则化因子的不同能得到两种不同形式的中心极限定理。本文共分为六章,文章框架与主要结果如下:(Ⅰ)第一章介绍了本文的研究背景,给出了容度、次线性期望空间以及一些具体的次线性期望的概念与基本性质。定义0.1.1.定义在F上的集函数V:F→[0,1]被称为容度,若其满足:(1)F((?))=0,y(Ω)= 1;(2)y(A)≤y(B)A(?)B,,∈F。设(Ω,F)是可测空间,H是其上所有随机变量构成集合的的子集,满足(1)H是向量格,即H是线性空间,所有的常数c∈H且X H∈(?)|X|∈H。(2)对所有的A ∈F,有IA∈ H。定义0.1.2.设E是H上的泛函,E:H R 我们称E是一个次线性期望,若对任意的随机变量X,Y∈H有以下四条性质成立:(1)单调性:若X≥Y,则有E[X]≥E[Y];(2)保常性:E[c]=c,(?)c∈R;(3)正齐性:IE[λX]= λE[X],(?)A≥0;(4)次可加性:E[X+Y]≤E[X]+E[Y]。我们称三元组(Ω,H,E)为次线性期望空间。E的共轭期望ε定义为:ε[X]:=-E[-X],(?)X ∈H。由E诱导的容度V定义为:V(A):= E[IA],(?)A ∈其共轭容度v定义为:v:=1-V(Ac),(?)A∈F。(Ⅱ)第二章研究了次线性期望下的弱大数定律。我们首先给出了 Peng独立性的概念,然后得出了关于独立随机变量序列的一阶矩条件下的两种形式的弱大数定律以及他们之间的等价关系:定义0.2.1.(Peng独立性)令X =(X1,…,Xm),Xi∈H和YY =(Y1,…,Yn),Yi∈H是次线性期望空间(Ω,H,E)上的两个随机变量。我们称Y独立于X,若满足对任意的检验函数φ ∈Cl,Lip(Rm×Rn),我们有定理0.2.2.给定次线性期望空间(Ω,H,E)。设{Xn)n=1∞是一个独立的随机变量序列,满足E[Xn]=μ,ε[Xn]=μ,对任意的n=1,2,…。记(?)假设(?)则(1)对任意的(2)对任意的定理0.2.3.给定次线性期望空间(Ω,H,E)。设(?)是一个独立的随机变量序列,满足E[Xn]=μ,ε[Xn]=μ,对任意的n = 1,2,…。记(?)则以下两种形式的弱大数定律等价:(1)对于任意函数(2)对任意的且对任意的定理0.2.4.给定次线性期望空间(Ω,H,E)。设(?)是一个独立的随机变量序列,满足(?),对任意的n = 1,2,...。记(?)假设(?)则对于任意φ∈Cb(R)有进而,我们将以上弱大数定律分别推广到了不要求一阶矩存在的情形和上下期望不相等的情形。定理0.2.5.给定次线性期望空间(Ω,H,E)。设(?)是一个独立的随机变量序列,满足(?)对任意的i=1,2,...,记(?)假设(?)则(1)对任意的ε0有(?)(?)(2)对任意的(?)有(?)(?)(3)若还满足(?)则对任意函数φ∈Cb(R)有(?)(?)定理0.2.6.给定次线性期望空间(Ω,H,E)。设(?)是一个独立的随机变量序列,满足(?)对任意的i=1,2,...,并且(?)则以下两种形式的弱大数定律等价:(1)对于任意函数φ∈Cb(R),(?)(?)(2)对任意的ε0有(?)(?)且对任意的ε0,任意的(?)满足(?)时有(?)(?)定理0.2.7.给定次线性期望空间(Ω,H,E)。设(?)是一个独立的随机变量序列,满足(?)对任意的n=1,2,...。记(?)假(1)对任意的ε0有(2)对任意的ε0,hn∈[μn,μn]有(3)若还满足则对任意的函数φ∈Cb(R),我们有定理0.2.8.给定次线性期望空间(Ω,H,E)。设(?)是一个独立的随机变量序列,满足(?)对任意的n = 1,2,...,并且(?)(?)则以下两种形式的弱大数定律等价:(1)对任意的函数φ∈Cb(R),(2)对任意的ε0有且对任意的ε0,任意的hn ∈(μn,μn]满足(?)时有本章的结果均不需要随机变量是同分布的,并且两种形式的弱大数定律都可以被运用到第四章中强大数定律的证明中。(Ⅲ)第三章研究了关于次线性期望一阶矩条件下的强大数定律。我们首先给出了polar集的定义,分析了次线性期望与Choquet期望的大小关系:定义0.3.1.给定一个容度V,集合A被称为是polar集,若满足V(=0。我们称一条性质是拟必然成立的(q.s.),当其在一个polar集外成立。定理0.3.2.给定一个次线性期望空间(Ω,H,E),V是E诱导的容度,Cv是由V生成的Choquet期望。则我们有(1)若Cv[|X|]∞成立,则有(?)(2)若Cv[|X|]∞成立,则有E[|X|]≤Cv[|X|]。(3)若(?)成立,则有E[|X|]∞。(4)若(?)成立,则有(?)这一结果的好处在于不需要对次线性期望附加任何连续性条件,并且说明了Cv[|X|]∞本身就意味着次线性期望具有一定的连续性:(?)进而我们由上面的定理,结合Zhang(2016a)的结果--Choquet期望一阶矩条件下的强大数定律,说明了关于次线性期望的一阶矩条件无法保证强大数定律的成立。定理0.3.3.给定次线性期望空间(Ω,H,E),由E诱导的容度V是从下连续的。令(?)是一个独立同分布的随机变量序列,其中E[X1]=μ,ε[X1]=μ。(1)若Cv[X1|]∞,则有(?)(2)假设V还是从上连续的,若(?)(?)则有Cv[|X1|]∞。通过此定理,我们能通过选取反例来说明,总能找到某个具体的次线性期望,使得存在一个独立同分布随机变量序列(?)满足(?)从而强大数定律不成立。最后我们给出了控制一阶矩条件下的强大数定律。定理0.3.4.给定次线性期望空间(Ω,H,E),由E诱导的容度V是从下连续的。令(?)是一个独立的随机变量序列,对任意的n∈N*有E[Xn]=μ和ε[Xn]=μ。假设存在一个随机变量X ∈H满足对任意的n∈N*有|Xn|≤|X|q.s.,并且(?)n)]=0。令(?)则(?)(?)等价地可写为(Ⅳ)第四章获得了能保证次线性期望下强大数定律成立的最弱矩条件。我们首先给出了关于次线性期望的一个一般性矩条件下的强大数定律,说明了这一族矩条件都可以保证强大数定律的成立,并利用第二章中的弱大数定律的结论获得了在这一矩条件下强大数定律的更细致的结果,进而运用与第三章类似的方法说明了这一一般性矩条件是保证次线性下强大数定律成立的最弱矩条件。定义0.4.1.令Φc(Φd)表示[0,∞)上的函数φ(x)的集合,其中φ(x)满足:(1)φ(x)是非负的并且在[0,∞)上非降,对于某一;x0≥0,在[x0;∞)上是正的。级数(?)收敛(发散)。(2)对任意固定的a0,存在常数C0使得对任意的x≥x0。有φ(x+a)≤Cφ(x)。定理0.4.2.给定一个次线性期望空间(Ω,H,E),E是从下连续的,V是其诱导的容度。设(?)是一个独立的随机变量序列,(?)对某一φ ∈Φc,并且(?)对任意的n1。令(?)则等价地可写为定理0.4.3.给定次线性期望空间(Ω,H,E),E是从下连续的,其诱导的容度V是连续的。设(?)是一个独立的随机变量序列满足(?)对某一φ ∈Φc,并且E[Xn]=μ,ε[Xn]= μ对任意的n≥1。令(?)则(1)(2)我们用C({xn})来表示R上数列{xn}的所有极限点。则对任意的b∈[μ,μ]有另外,我们将本章的结果推广到函数扩张形式的强大数定律,并得到了随机变量序列的上期望与下期望不相等时的强大数定律。推论0.4.4.在定理0.4.2的假设条件下,对任意R上的连续函数φ(·),我们有(1)等价地可写为若还满足V是连续的,则(2)(?)对任意的(?)有定理0.4.5.给定一个次线性期望空间(Ω,H,E),E是从下连续的,V是其诱导的容度。设(?)是一个独立的随机变量序列,满足对某一φ∈Φc有(?)∞,并且(?)对任意的n≥1。令(?)则(1)进而若还满足V是连续的,则(2)(3)对任意的bn∈[μn,μn]有作为推论,我们还获得了次线性期望下的加权强大数定律。我们记满足Φc中的(1)、(2)两个条件加以下条件(3)所组成的函数集为Φw。(3)对任意固定的a0,存在C0使得对任意的x≥x0有φ(ax)≤C(1 +Φ(x))。定理0.4.6.给定一个次线性期望空间(Ω,H,E),E是从下连续的,V是其诱导的容度。设(?)是一个独立的随机变量序列,满足对某一φ∈φw,有(?)∞,并且(?)对任意的n1。设(?)是一列一致有界的正实数,记(?)满足Wn=O(n)。则(1)若还满足V是连续的,则(2)(3)对任意的bn∈[μn,μn]有(Ⅴ)第五章研究了非独立情形下的强大数定律。我们给出了两个非独立情形标准化因子为更一般的an时的强大数定律,并且它们均可退化为独立同分布的情况。定理0.5.1.给定一个次线性期望空间(Ω,H,E),由E诱导的容度V是从下连续的。令(?)是一个非负的随机变量序列,(?)是一个非降无界正值数列。假设并且对任意的p0有则等价地可写为定理0.5.2.给定次线性期望空间(Ω,H,E),由E诱导的容度V是从下连续的。令(?)是一个非负随机变量序列。假设(?)是一个非降无界正值数列。若(?)且对任意的p0有则等价地可写为推论0.5.3.给定次线性期望空间(Ω,H,E),由E诱导的容度V是从下连续的。令(?)是一个非负的独立同分布随机变量序列。假设E[eX1]∞,则我们有且另外我们得到了非独立情形拟必然条件下的强大数定律。定理0.5.4.给定次线性期望空间(Ω,H,E),由E诱导的容度V是从下连续的。令(?)是一列随机变量,(?)是一个非降无界正值数列。假设对任意的n≥1和某一0≤α1,存在某一C0使得则等价地可写为(?)(?)(Ⅵ)第六章研究了次线性期望下非同分布情况下的中心极限定理。我们在给出了G 正态分布的概念后给出了次线性期望下的关于Sn/Bn的Berry-Essen界,进而得出Sn/Bn、Sn/Bn两种正则化方式在类似Lyapunov条件下的中心极限定理,并说明了这两种形式的中心极限定理都能退化到独立同分布的情形。定义0.6.1.(G-正态分布)给定次线性期望空间(Ω,H,E)上的一个一维随机变量X,满足E[X2]=σ2,ε[X2]=σ2。X被称为是服从G-正态分布的,若满足:(?)其中X是X的一个独立复制。记为(?)引理0.6.2.给定次线性期望空间(Ω,H,E),(?)是其上一个独立的随机变量序列。假设:(1)(?)(2)ζ服从G-正态分布,满足(?)此处(?)记(?)则对任意的h0以及任意给定的φ ∈Cb,Lip(R)我们有存在某一0α1,某一常数C0以及某一依赖于h的常数Ch0使得(?)(?)(?)定理0.6.3.给定次线性期望空间(Ω,H,E),(?)是其上一个独立的随机变量序列。假设:(1)(?)(2)ζ服从G-正态分布,满足(?)即(?)此处(?)(3)以上σ满足(4)对任意的0α1有则对任意的φ∈C,Lip(R)我们有定理0.6.4.给定次线性期望空间(Ω,H,E),(?)是其上一个独立的随机变量序列。假设:(1)(2)ζ服从G-正态分布,满足此处(3)以上σ满足(4)对任意的0α1有则对任意的φ∈Cb,Lip(R)我们有以上结果的好处在于,我们并不需要随机变量序列的(2+α)阶矩甚至二阶矩一致有界。
[Abstract]:......
【学位授予单位】：山东大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O211

【参考文献】