Moore-Gibson-Thompson方程的衰减问题

发布时间：2018-08-27 09:28

【摘要】：本文是在Hilbert空间中研究三阶的MGT(Moore-Gibson-Thompson)方程τuttt+αutt- c~2△u - b△ut+∫_0~tg(t-s)△u(s)ds=0. MGT方程中最高阶项为三阶项uttt,本方程含有非线性的内部耗散项,记忆耗散项.我们利用乘子技术来得到能量的一般衰减.首先将上述方程两边同时乘以ut,经过一系列的计算我们可以得到E1(t)和E'1(t).我们知道在一般的发展中它们的最高阶项为两阶的,应用一次乘子技术就能得到能量和能量导数的表达式而对于MGT方程来说为了得到能量的总表达式我们再用一次乘子技术即方程两边同时乘以utt,我们可以得到E2(t)和E2(t)的形式表达式.从而我们来定义总的能量泛函E(t)=kE1(t)+E2(t),由于E(t)的能量表达式比较繁杂,我们不妨来找出能量的主体R(t),以及E'(t)的主体S(t),为了证明能量E(t)的衰减在这篇文章中我们构造了两个能量辅助泛函,分别为Φ(t)=τ∫Ωututt,Ψ(t)= -τ∫Ωutt∫ot9(t - s)(u(t) - u(s))dsdx.当条件为g'≤-ζ(t)g(t)时,首先证明出E(t)～R(t),E'(t)～S(t),求出两个辅助函数的导数表达式,然后通过一系列的计算和估计来拼凑出和E'(t)相似的形式表达式.构造出L(t)=N1R(t)+N2Ψ(t)+Φ(t),并且证明出L(t)～R(t).通过一系列的计算和估计得出L'(t)≤ -mR(t)+a(go%絬)(t),在上述不等式的两边同时乘以ζ(t).其中ξ(t) 0,并且ξ(t)为单调递减函数.然后利用条件g'(t)≤-ξ(t)g(t),及利用磨光技术来处理所构造出的微分不等式.经过处理最后得出微分不等式E'(t)≤-mξ(t)E(t).通过解微分方程来求出能量的衰减形式.当条件为g'(t)≤-ξgp(t)时,其中ξ为正常数,同上,证明出E(t)～R(t),E'(t)～S(t),还是利用上述所构造的两个辅助泛函Φ(t),Ψ(t).只不过在其求导,进行不等式的估计时.在最后求导的估计式中出现了(gpo%絬)(t),然后构造出L(t)=R(t)+e1Φ(t) + e2Ψ(t),再证明出L(t)～R(t),最后经过一系列的计算和估计得出L'≤-k1||utt||22-k2||%絬||22-k3||%絬t||22-k6(gpo%絬)(t),当p = 1 时就是一般的微分方程,通过解此微分方程来得出能量的指数衰减形式.当p 1时,通过对(go%絬)(t)的进一步估计以及(go%絬)(t)和(gpo%絬)(t)的关系转换,我们可以得到能量的多项式衰减形式.
[Abstract]:In this paper, we study the third-order MGT (Moore-Gibson-Thompson) equation 蟿 uttt 伪 utt- cf2u -b ut in Hilbert spaces, and study the third-order MGT (Moore-Gibson-Thompson) equation 蟿 uttt 伪 utt- cf2u -b ut 鈪，

本文编号：2206856