动力系统的解析正规型与极限环分支

发布时间：2018-11-26 07:37

【摘要】：本博士学位论文主要研究微分系统可积的代数方面,具有不变量的微分系统的整体动力学,以及解析微分系统和解析微分同胚的解析等价正规型的存在性。具体为广义Lorenz系统的代数可积性,具有不变代数曲面的广义Lorenz系统的极限环分支及其轨道的全局拓扑结构,同时还给出了任意阶平均法的表示公式及其在周期解与可积性研究方面的应用。最后,我们考虑了解析可积微分系统在周期轨道邻域的解析正规化子的存在性,以及环面解析扰动微分同胚与向量场的解析等价正规型的存在性与环面解析微分同胚族与向量场族的几乎可约性。论文的研究内容共分四个部分。第一部分主要研究广义Lorenz系统的代数可积性,极限环分支及其全局动力学。代数可积性是动力系统的一个重要研究课题,在Darboux[Bull.Sci.Math.2(1878),60 96,123 144,151 200]、Bruns[Theory of Differential Equations by Forsyth,1900]和Poincar′e[Rend.Circ.Mat.Palermo 5(1981),161 191;11(1987),193 239]做出了奠基性的工作之后,多项式微分系统代数可积性的问题转化为完整地刻画系统的Darboux多项式的问题。Poincar′e在他的工作中已指出:没有有效的方法计算给定多项式微分系统的Darboux多项式,这也在过去100多年的研究中得到了证实。Lorenz系统不变代数曲面的分类问题始于Segur[Soliton and the inverse scattering transform,in Topics in Ocean-Physics,1982],但该系统Darboux多项式的完整分类问题直到2002年才由Llibre和Zhang[J.Math.Phys.43(2002),1622 1645]解决,从而进一步解决了经典Lorenz系统的代数可积性问题。沿着Llibre和Zhang的思想,我们考虑广义Lorenz系统:賦 = a(y- x) = P(x, y, z),賧 = bx + cy- xz = Q(x, y, z),賨=dz+xy=R(x,y,z),的代数可积性及其整体动力学,其中x,y和z是实变量,a,b,c和d是实参数。该系统是由经典的Lorenz系统[J.Atmos.Sci.20(1963),130 141],Chen系统[Internat.J.Bifur.Chaos 9(1999),1465 1466]和L¨u系统[Internat.J.Bifur.Chaos 12(2002),659 661]的统一化得到的系统。利用加权齐次多项式和解线性偏微分方程的特征曲线法以及Blow up变换技术,我们给出了广义Lorenz系统Darboux多项式的完整的分类,进而在此基础上完成了具有不变代数曲面的广义Lorenz系统全局动力学性态的研究。这项工作从两个方面推广和改进了已有的相关工作[Llibre和Zhang,J.Math.Phys.2002;Cao和Zhang,J.Math.Phys.2007]:1、提供了包括经典Lorenz系统,Chen系统和L¨u系统在内的三类微分系统的代数可积性的统一证明方法,特别的我们得到了chen系统与l¨u系统非代数可积的结论,这是全新的结果;2、提供了一类研究三维系统全局轨道拓扑结构的方法,尤其是给出了具有不变代数曲面的广义lorenz系统极限环不存在的证明,并且完整地刻画了从不变代数曲面及无穷远点以外出发的轨道的α极限集和ω极限集。后两个问题在已有的相关文献中都没能很好地解决。第二部分主要研究任意阶平均法理论及其在微分方程周期解与可积性研究方面的应用。平均法是研究微分方程周期解分支的一个重要工具。低阶平均法以及应用的结果非常丰富,任意阶平均法理论只是近年来才发展起来。gin′e等在[physicad250(2013),58 65]中首先得到一维周期微分系统的任意阶平均法公式。llibre等[nonlin-earity27(2014),2417 2417]在未扰动系统充满等时周期轨道时得到任意阶平均法公式并将其应用到平面系统的中心问题中。该结果需要一些特定的假设条件,从而限制了该方法的应用范围。当未扰动的n维微分系统賦=f_0(t,x)的周期解形成的流形的维数小于n时,malkin和roseau分别于1956和1966年给出了一阶平均法公式。buic?a等[comm.pureappl.anal.6(2007),103 111;physicad241(2012),528 533]将malkin和roseau的一阶平均法公式扩展到二阶平均法公式。但该情形下的任意阶平均法公式一直没有给出。通过发展新的技术和方法,我们给出任意有限维解析周期微分系统的任意阶平均法公式。与前人的工作相比,我们结果的新颖之处体现在:1、给出了摄动微分系统的任意阶平均法公式,它包含所有已知的相关结果作为特例;2、证明了平均法公式具有类似与bautin定理的结论,从而可用于研究平面解析微分系统的中心焦点问题,这是该领域的全新的结果;3、同时给出平面多项式微分系统在幂零和某些退化奇点邻域的平均法公式,从而可以用于研究这类系统的可积性和极限环分支。第三部分研究解析可积微分系统在周期轨邻域的解析等价正规型的存在性。正规型理论具有丰富的内容,它是研究动力系统的动力学性质的重要方法之一。这里主要关心poincar′e正规型,其中最困难的问题是将原系统化为poincar′e正规型的变换的收敛性。该领域经典的结果是poincar′e dulac定理,以及满足diophantine条件的siegel定理和bruno定理等。近年来,zung等发现解析可积微分系统与解析等价正规型之间的联系。zung[ann.math.161(2005),141 156;math.res.lett.9(2002),217 228]利用环作用的方法证明了解析可积hamilton系统等的解析等价正规型的存在性。zhang[j.differentialequations244(2008),1080 1092;254(2013),3000 3022]证明了局部解析可积微分系统在奇点邻域的解析等价正规型的存在性,并且给出正规型的完整表达式。受上述工作的驱动,我们考虑解析微分系统賦=f(x),x∈??Rn,在周期轨道邻域解析等价正规型的存在性,其中?銰R~n是开子集且f(x)∈Cω(?)。我们得到的结论是:当该系统有一个位于区域?内的周期轨Γ,且系统在该周期轨道邻域解析可积,则该系统在周期轨道邻域解析等价于它的Poincar′e正规型。这个结果进一步完善了解析可积微分系统与解析等价正规型之间的关系,同时我们指出与可积系统在原点附近的解析正规化子相比,该结果的最大困难是:1、在证明特征乘子的性质中,函数独立的首次积分个数小于共振谱集所张成线性空间的维数,我们是根据Floquet乘子一定有0特征值来处理这个问题的;2、在解析正规化子存在性的证明中,没有要求线性部分的矩阵满足可对角化的条件,我们提供了一般情况下的证明。第四部分研究环面扰动解析微分同胚与解析向量场的解析等价正规型的存在性及环面微分同胚族与向量场族的几乎可约性。对于环面动力系统的正规型研究一直较少,当未扰动系统的参数满足Diophantine的条件时,Arnold[Geometric Methods in Theory of Ordinary Differential Equations,1990]给出了低维情况下环面微分同胚的解析可约性,Treschev和Zubelevich[Introduction to the Perturbation Theory of Hamiltonian System,2010]考虑了一类环面扰动向量场的解析可约性。对于向量场族而言,P′erez Marco[Comm.Math.Phys.223(2001),451 464;Ann.Math.157(2003),557 574]利用Pluripolar理论研究了向量场族与微分同胚族在平衡点邻域的一致可约性。在他们工作的基础之上,我们给出了环面扰动解析微分同胚与解析向量场在未扰动系统的参数满足其它的条件下的解析正规化子的存在性。进一步地,我们将P′erez Marco的结论扩展到环面微分同胚族与环面向量场族,得到了环面微分同胚族与向量场族的几乎可约性。这些推广的难度主要体现在:1、为了证明同伦方程解析解的存在性,需要构建复数带形区域上的Fourier理论,这比原点邻域Fourier理论的证明上更加复杂;2、在证明几乎可约性定理中,为了应用Bernstein-Walsh引理来处理非Pluripolar集,我们所构造的可数子集分解起到了关键的作用。
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【学位授予单位】：上海交通大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175

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