多尺度径向基函数插值

发布时间：2019-05-26 21:45

【摘要】：径向基函数是处理多元问题的一种有效方法,它是通过定义在[0,+∞)上的一元函数φ与Rn上的欧几里德范数||·||2来表示n元函数φ(||x-y||2),其中x,y ∈Rn.事实上,在过去二十年中,径向基函数经历了深入的研究,并在科学和工程的各个领域,如多变量数据插值与逼近、曲面重构、偏微分方程的数值解、神经网络、机器学习等都取得了巨大的成功.径向基函数最初的发展集中于多元数据插值.在1982年,Franke[5]发表了一篇综述论文总结了在当时可用于散乱数据集合上几乎所有的插值方法.结果发现径向基函数作为处理散乱数据插值问题具有高效,方便存储,运算简单的优点.所以,近年来,Schaback[14],Wendland[15],Beastong[16],Wu[9,14]等国内外学者对径向基函数理论与应用进行了更进一步系统的研究.多尺度的方法是小波分析的核心思想,已经被广泛应用于数据压缩,图形图像处理和其它诸多工程领域,并取得了极大的成功.另外,多尺度的方法也是数值分析中的重要方法,并在函数逼近,偏微分方程数值解等领域,如Monte Carlo模拟等有着广泛的应用.它的基本思想是在不同的尺度(或分辨率)水平上表达任意函数.在1996年,Ami Harten[13]提出数据多尺度表示的一个一般框架,这个框架是小波理论[1,2,10]的推广,在2000年,F.Arandiga[3]等人为纪念Ami Harten,对该框架进行深入研究,并给出多尺度多项式插值的相关结果.这充分表明了该框架非常便于对离散数据进行多尺度逼近.本文基于Ami Harten[3,13]提出的数据多尺度表示的框架,提出了一种新的用径向基函数插值散乱数据的多尺度方法:对于给定区间上的散乱数据点,首先进行分级粗化,形成由精细到粗糙的分层结点集合,然后分别利用局部和全局两种径向基函数插值的方法对所给数据进行多尺度插值逼近,并与文献[3]中所给的多项式插值的结果进行比较.本文还将所提出的局部和全局径向基函数插值的方法推广到了二元矩形区域上的数据的多尺度插值逼近.通过与文献[3]中结果对比,我们发现,本文提出的多尺度径向基函数插值的方法相对于多项式插值而言,具有更好的整体逼近性,其逼近的能量更集中.论文最后还通过数值实验验证了所得结论.
[Abstract]:The radial basis function is an effective method to deal with multivariate problems. It represents the n-ary function 蠁 (| x 鈮，

本文编号：2485658