几类分数阶方程（组）解的存在性及对称性等问题的研究

发布时间：2019-06-14 20:30

【摘要】：本文主要由六部分构成:首先引言部分,我们介绍了分数阶拉普拉斯的背景和在物理等方面的应用,并且给出了分数阶算子和分数阶Sobolev空间的定义。第一章我们运用了变分法和Lustermik-Schnirelmann畴数理论研究了在临界情况下带位势的分数阶Choquard方程,证明了正解的存在性,集中性和多解性。第二章我们主要考虑了带有不同指数的分数阶系统。首先通过迭代的方法得到了使用移动平面法的重要定理-极值原理,并利用直接的移动平面法得到了在无穷远处没有任何假设条件的情况下解的对称性和不存在性。第三章,我们主要研究了一类分数阶Choquard方程,首先得到了单个方程和方程组的等价性,并用第二章方程组的方法同样得到解的对称性和不存在性。第四章,我们考虑了分数阶Henorn系统,首先我们运用移动平面法得到了解的径向对称性,接着运用积分形式的Pohozaev恒等式得到了在临界和超临界情况下正解的不存在性。第五章,我们得到了分数阶方程组在星形区域下的Pohozaev恒等式,并运用它证明了在次临界情况下正解的不存在性。
[Abstract]:This paper is mainly composed of six parts: first of all, in the introduction part, we introduce the background of fractional Laplace and its application in physics, and give the definition of fractional order operator and fractional Sobolev space. In chapter 1, we study the fractional Choquard equation with potential in critical case by using the method of variation and the theory of Lustermik-Schnirelmann domain number, and prove the existence, centrality and multisolution of positive solutions. In chapter 2, we mainly consider fractional systems with different indices. Firstly, the extremum principle, which is an important theorem using the moving plane method, is obtained by iterative method, and the symmetry and nonexistence of the solution are obtained by using the direct moving plane method without any hypothetical conditions at infinity. In chapter 3, we mainly study a class of fractional Choquard equations. Firstly, we obtain the equivalence between a single equation and a system of equations, and the symmetry and nonexistence of the solution are also obtained by using the method of the equations in the second chapter. In chapter 4, we consider the fractional Henorn system. First, we use the moving plane method to obtain the radial symmetry of the solution, and then we obtain the nonexistence of the positive solution in critical and Supercritical cases by using the Pohozaev identity in the integral form. In chapter 5, we obtain the Pohozaev identity of fractional equations in star domain, and use it to prove the nonexistence of positive solutions in subcritical cases.
【学位授予单位】：南京师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O175

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本文编号：2499670