不可压缩渗流驱动问题混合有限元与标准有限元耦合的两层网格法

发布时间：2019-09-13 05:45

【摘要】：多孔介质中渗流驱动问题是一类典型和复杂的物理现象,这个问题与生活实际中的环境污染和油藏开采等问题是密切相关的,这也是当今科学家非常感兴趣的研究领域之一.宏观尺度下对这类问题的模拟一般是通过质量守恒方程以及Darcy定律的变分形式来实现的,所获得的数学模型主要是由一组非线性偏微分方程耦合而形成.其中主要包含流体的输运和流动两个子问题:一个是关于流动的压力方程,另一个是关于输运的浓度方程.Ewing在[62]中对多孔介质的渗流驱动问题的数学模型和数值模拟做了比较全面的概述.这种渗流驱动问题的计算规模非常庞大,我们希望能够获得更高效的数值方法用以快速求解这种问题,提高其计算效率.本文主要探讨不可压缩流体混溶驱动问题的高效数值方法,构造几类不可压缩渗流驱动问题的混合有限元方法和标准有限元方法耦合的两层网格方法,讨论和分析两层网格算法的收敛性质.本文主要考虑混溶驱动问题中的三类不可压缩渗流驱动问题.首先考虑只有分子扩散现象的驱动问题,然后研究具有重力系数项r(c)的渗流驱动问题,最后探讨即有分子扩散又有分子弥散现象的这种复杂的不可压缩渗流驱动问题.我们针对上述三种不可压缩渗流驱动问题分别构造混合有限元法和标准有限元法耦合的两层网格方法,并且获得一系列的逼近性质和误差估计.通过研究发现这种求解近似问题的两层网格算法能够保持与原问题的变分问题相同的精度,但是可以很大程度上节省计算时间.本文主要工作分为如下三个部分.第一部分,首先给出只有分子扩散现象的不可压缩混溶驱动模型问题的弱形式,接着将RTk混合有限元逼近压力和流速方程与标准有限元逼近浓度方程相结合,从而建立混合有限元离散格式.根据椭圆投影性质和许进超教授[112]的对偶论证技巧给出混合有限元解的Lq模误差估计.然后,在细网格上利用牛顿迭代思想,构造混合有限元离散格式的快速两层网格算法.它的主要思想是将细空间上一个耦合的非线性问题转化为粗空间上一个非线性问题和细空间上一个(或者两个)线性问题.同时,我们也获得了浓度的Lq误差估计和压力与流速的收敛性质.最后,给出数值算例验证所得到的理论结果.第二部分,我们设计具有重力系数项r(c)的不可压缩渗流驱动问题混合有限元和标准有限元耦合的两层网格算法,首先建立不可压缩渗流驱动问题的混合有限元离散格式,通过一些逼近性质和对偶论证方法等技巧,获得混合有限元离散格式的Lq模估计.然后,对混合有限元离散格式引入两层网格技巧,设计混合有限元法的两层网格算法,进一步给出相应的收敛性估计.通过收敛性分析和数值算例,可以发现所构造的两层网格算法能够保持混合有限元法的相同精度,但是大大节约了数值计算的时间.第三部分,我们主要探讨具有复杂的分子扩散和弥散现象的不可压缩渗流驱动问题,构造扩散系数为非线性项的渗流驱动问题混合有限元和标准有限元耦合的两层网格算法.首先,我们给出问题的弱形式;然后对压力和流速方程利用RTk的混合有限元逼近,对浓度方程利用标准有限元逼近,我们获得混合有限元离散格式并对有限元解进行理论分析;接着,我们设计混合有限元和标准有限元耦合的两层网格方法,通过对算法的分析和探讨获得关于浓度Lq误差估计和压力与流速的收敛性质.
【图文】：

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逦（４．４．２）逡逑本例中，我们选取区域Ｑ邋＝邋［０，１］邋ｘ邋［０，１］和常数Ｔ邋＞邋０．时间步长Ｔ邋＝邋ｌ．Ｏｅ邋—５．逡逑为了简单方便起见，假定空间步长／／Ｐ邋＝逦＝圪心＝／ｉｐ邋＝邋／ｉ．图４．１和图４．２分逡逑别给出了在时刻ｆ邋＝邋１．０ｅ＿３处两层网格解＾的图形，观察表４．１中，我们针对算逡逑法３给出了两层网格方法关于浓度，压力和速度相应的｜｜ｃｎ－Ｃ＾｜｜邋，逡逑和｜｜ｐ＂邋－逦误差．从误差分析中可以观察到当选取粗网格步长和细网格步长为逡逑把＝＆时，，关于丨丨＃邋—邋［＾丨＾和丨｜ｐｎ邋一尸厂｜丨的误差估计为一阶的收敛性，浓度逡逑｜｜ｃ＂－Ｃ＾｜｜的收敛阶大约２阶，这恰好和我们两层网格算法理论分析中定理３．３．１和逡逑定理３．３．２的分析式相吻合的．接下来，我们来看算法４的数值算例．表４．２中获逡逑得两层网格算法４的数值解｜｜ｃｎ邋—逦，｜｜ｕ＂邋—邋Ｃ／Ｍｖ和｜丨圹—的误差估逡逑计，从计算所得误差的数值结果可以发现，当保持粗网格不变，分别选取合适的细逡逑网格步长
【学位授予单位】：湘潭大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O241.82;O357.3

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