几类非线性动力系统的稳定性、分岔与混沌问题研究

发布时间：2019-10-11 08:06

【摘要】：本文就非线性动力学的理论、方法在种群生态学和神经系统这两方面的应用展开了研究.主要包括以下四个方面的内容:一是利用向前欧拉差分方法对食饵带有常值收获的一类Holling-Leslie型连续捕食者-食饵模型进行离散化,研究了该离散系统的动态行为;二是考虑了捕食者带有Michaelis-Menten型非线性收获的一类连续型捕食者-食饵系统的动态;三是研究了两个相同的混沌Rulkov神经元通过一个连续的非线性双向化学耦合组成的简单网络;四是研究了多时滞对单个Hindmarsh-Rose神经元动态的影响.具体内容如下:第一章与第二章主要分别介绍了本文的选题背景、国内外的研究现状,非线性动力系统的发展概况,种群生态学与神经动力系统的背景知识以及本文所用到的一些非线性动力系统的相关概念、定理和结论等.第三章利用欧拉向前离散方法对食饵带有常值收获的一类Holling-Leslie型连续捕食者-食饵模型进行离散化,利用中心流形定理与分岔理论,推导了产生flip分岔和Neimark-Sacker分岔的条件,通过数值模拟对理论分析进行了验证.研究结果表明当连续系统离散化后,积分步长在Holling-Leslie型离散捕食者-食饵模型的局部与全局稳定性中起着重要的作用.第四章研究捕食者带有Michaelis-Menten型非线性收获的一类连续型捕食者-食饵系统的动态.我们给出了系统平衡点的数量,局部稳定性,余维1分岔,如鞍结点分岔、跨临界分岔和Hopf分岔,余维2的Bogdanov-Takens分岔.带有非线性收获的系统经历多种类型的分岔,从生态意义上来看这些分岔是很重要的,尤其是鞍结点分岔和Bogdanov-Takens分岔,可能会导致系统动态剧烈性变化,这些分岔的存在意味着对捕食者或食饵的过度开采则会导致相应物种的灭绝.这些研究可以看作是对现有工作的补充和完善,对于理解具有这种特征的生态系统的复杂动态提供了理论基础和数学支撑.第五章研究两个相同的混沌Rulkov神经元通过一个连续的非线性双向化学耦合组成的简单网络的动力学行为.主要考虑了系统的不动点及其稳定性、同步性等问题.我们不仅考虑了系统参数对耦合网络的影响,还考虑了耦合强度对耦合网络的影响,尤其考虑了耦合强度对两个神经元同步性的作用.两个神经元在随着耦合强度增加的过程中,可以经历比较丰富的放电模式,如出现了方形簇放电,三角簇放电及这两种情况混合的放电模式,最后达到完全同步.此外还给出了在不同的参数平面上系统的同步性区域.第六章研究多时滞对单个连续Hindmarsh-Rose神经元动态的影响,主要包括平衡点的稳定性,局部Hopf分岔,Hopf分岔的方向与稳定性.为进一步探究时滞的影响,给出了膜电压的峰峰间期分岔图.在研究中发现,两个时滞具有不同的时间尺度,这种现象很有可能是Hindmarsh-Rose模型本身具有不同的时间尺度所导致的。
【图文】：

心电图,结构示意图,膜电位,轴突

棘．树突能极大地扩展神经元接受刺激的表面积．每个神经元只有一条轴突，轴突逡逑比较突细，直径均一，有侧支呈直角分出．轴突的末端分支较多，，形成轴突终末．神逡逑经细胞的结构如图２．１所示［１１６】．逡逑细胞在进行生命活动时，都伴有电现象，称为细胞生物电（ｂｉｏｅｌｅｃｔｒｉｃｉｔｙ）．细逡逑胞生物电是由一些带电离子，如Ｎａ＋，Ｋ＋，Ｃｌ＇邋Ｃａ２＋等，跨细胞膜流动而产生逡逑的，表现为一定的跨膜电位（ｔｒａｎｓｍｅｍｂｒａｎｅ邋ｐｏｔｅｎｔｉａｌ），简称为膜电位（ｍｅｍｂｒａｎｅ逡逑ｐｏｔｅｎｔｉａｌ）．细胞的膜电位主要有两种表现形式，即安静状态下相对平稳的静息逡逑电位和接受有效刺激时迅速发生并向远处传播的膜电位波动，即动作电位．机逡逑体所有的细胞都具有静息电位，而动作电位则仅见于神经细胞、肌细胞和部分逡逑腺细胞．临床上诊断疾病时广泛应用的心电图（ｅｌｅｃｔｒｏｃａｒｄｉｏｇｒａｍ，邋ＥＣＧ）、脑电逡逑１０逡逑

相图,普适开折,分岔图,相图

宿轨分岔曲线为逡逑７／Ｌ邋＝邋｛（／＾，／＾）邋：邋＂２邋＝邋士７邋Ｖ－＂卜＂１邋＜邋0｜邋？逦（２．３２）逡逑普适开折系统（２．２９）的分岔图及对应每个区域的示意相图如图２．２所示［１３６］．逡逑２６逡逑
【学位授予单位】：北京交通大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O19

【参考文献】