离散Clifford分析

发布时间：2020-03-22 12:04

【摘要】：在本文中我们研究离散Clifford分析,即网格上的离散monogenic函数理论。最近几年,一些学者对Clifford分析在离散情形的推广表现出了兴趣。已有大量的相关文献发表。其研究范围涵括了拟Weyl关系、离散Taylor展开、离散积分论、离散monogenic函数的边界值问题等等。但是,现有的理论框架中仍有很多不足。其中一点妨碍了此理论的继续发展。那就是离散Cauchy-Pompeiu公式不具有连续版本的相同形式。为了解决这个问题,我们引入新概念“离散边界测度”和“离散法向量”,在此基础上建立了一个新的离散积分理论。这使得讨论任意一个有界域上的连续monogenic函数和离散monogenic函数的收敛关系成为可能。此外,我们还利用两个Sheffer序列建立了分裂四元数上的离散Taylor展开理论。文章具体内容如下:第一章为引言。我们介绍了研究的历史背景、研究现状以及我们的研究内容和进展。第二章包含了离散基本理论的基本内容。我们引入了新的概念“离散边界测度”和“离散法向量”。我们也将给出离散Cauchy-Fueter算子的基本解并研究它的性质,特别是它的渐近展开。最后借助此基本解和离散Stokes定理,我们建立了和连续版本具有相同形式的离散Cauchy-Pompeiu公式。在第三章中,我们研究离散monogenic函数的边界值问题。主要是离散Cauchy-Fueter系统的Dirichlet问题的可解性。我们面临的主要困难是在离散情形下到边界上的非切向极限是不存在的。我们发现离散Cauchy-Bitsadze积分在内层离散边界上的限制和连续Cauchy-Bitsadze积分从域内到边界上的非切向极限在函数的边界行为刻画上起到相同的作用。类似的结论对于外层离散边界也成立。基于这一事实,我们建立了离散Sokhotski-Plemelj公式并通过离散Plemelj算子给出了离散Cauchy-Fueter系统的Dirichlet问题可解性的判定法则。在第四章中,我们将对离散Clifford分析中的几个收敛性问题给出解答。结合新的离散积分理论和我们关于欧氏空间中域的离散逼近的结论,我们揭示了离散和连续monogenic函数的收敛关系:一个函数是monogenic函数当且仅当其是一列离散monogenic函数的scaling极限。更进一步的,我们还证明了和离散monogenic函数的边界行为有关的积分算子,包括离散Plemelj投影,都收敛于它们在连续情形下的对应算子。在第五章中我们研究了离散复分析,即二维离散Clifford分析,中的一个基本问题:一个离散全纯函数的Taylor级数是否收敛于自身?基于Sheffer序列我们证明了对于一类分裂四元数取值的离散全纯函数,其Taylor展开必然是收敛于自身的。
【学位授予单位】：中国科学技术大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O241.8

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本文编号：2595017