几类双半环的结构和同余

发布时间：2020-03-23 03:11

【摘要】：本文主要研究几类双半环,给出了它们的某些性质定理和结构定理,其主要思想是利用双半环的分配格来研究双半环的结构和性质.本文共分三章,具体内容如下:第一章:本章研究了(S,+)半群为半格、(S,·)半群为逆半群、(S,*)半群为半格的双半环.利用两个偏序关系之间的延拓关系,在满足一定的条件下,得到了双半环S是所谓的分配格的充分条件.当双半环S为(S|+)l∩(I|·)∩(S|*)l时,从双半环的两个子集出发构造两个偏序关系,得到了双半环的(S,.)半群上的Green-H关系H是双半环同余的一个充要条件,同时刻画了S上的三类偏序关系.主要结论如下 +*引理1.2.1若S ∈(S|+)l∩(I|·)∩(S|*)l,则S的乘法半群的幂等元之集E(S)为S的子双半环.*引理1.2.2设S∈(S|+)l∩(I|·)∩(S|*)l,若≥+和≥*均为≤.的延拓,并且对任意的a,b ∈S,满足(a + b)-1 =a-1 + b-1;(a*b)-1 = a-1*b-1,则≥+=≤.=≥*.其中≥+和≥*分别是≤+和≤*的逆序.引理1.2.4设S ∈(S|+)l∩(I|·)∩(S|*)l,≥+=≤.=≥*,则S是分配格.定理1.2.5设S∈(S|+)l∩(I|·)∩(S|*)l,则下列命题等价:(1)≥+和≥*均为≤.的延拓,并且满足(a,b ∈S)(a+ b)-1=a-1+b-1,(a*b)-1 =a-1*b-1;(2)≥+=≤.=≥*;(3)S是分配格.引理1.3.1若S(S|+)l∩(C|·)∩(S|*)l,则Q1,Q2均是(S,.)的子半群.引理1.3.2若S ∈Sl∩(C|·)∩(S|*)l,则H是S上的双半环同余(?)(a+b)0 = a0+b0,(a*b)0 = a0*b0,(?)a,b ∈ S.引理1.3.3设S∈(S|+)l∩(C|·)∩(S|*)l,S上的二元关系≤0定义为a≤0 b(?)a0≤.b0,ba-1 ∈ Q1,(?)a,b∈S,则(S,·,≤0)是偏序Clifford半群.引理1.3.4设(S|+)l∩(C|·)∩(S|*)l,S上的二元关系≤0定义为a≤0 b(?)a0≤.b0,ba-1 ∈ Q2,(?)a,b∈ S.则(S,·,≤0)是偏序Clifford半群.引理1.3.5设(S|+)l∩(C|·)∩(S|*)l,对(?)e,f∈E(S),满足e + f=ef = e*f,且H是S上的双半环同余,则≤+=≤0,≤*=≤0.定理1.3.6设S ∈(S|+)l∩(C|·)∩(S|*)l,H是S上的双半环同余,则Q1 = Q2 =E(S)当且仅当≤.=≤0=≤0.第二章:本章研究了分配双半环上的半格同余和交换分配双半环上的最小半格同余.主要结论如下:引理2.1.3设S是分配双半环,定义关系η:aηb(?)((?)e ∈ E(S))a + e =(a + e)(b + e)(a + e),b + e =(b + e)(a + e)(b + e).则η为S上的同余,且(S/η,·)为半格.引理2.1.4设S是分配双半环,在S/〉上定义关系ρ:aηρbη(?)((?)e ∈+E(S))(ae)η=(ae)η+(be)η+(ae)η,(be)F=(be)η+(ae)η+(be)η.则ρ为S/η上的同余,且((S/η)/ρ,+)为半格.引理2.1.5设S是分配双半环,在S/η上定义关系λ:aηλbη(?)((?)e ∈*E(S))(ae)η=(ae)η*(be)η*(ae)η,(be)η=(be)η*(ae)η*(be))η.则λ为S/η上的同余,且((S/η)/λ,*)为半格.定理2.1.6设S是分配双半环,定义σ:a,b∈S,aσb(?)aη(ρ∨λ)bη.则σ为双半环S上的半格同余.引理2.2.2设S是交换分配双半环,定义S上的一个关系η为:a,b ∈S,aηb(?)m,n ∈ Z+,x,y ∈ S,满足am = bx,bn = ay,则η为双半环S上的同余,且是(S,·)上的最小半格同余.引理2.2.3设S是交换分配双半环,在S/η上定义一个关系ρ为:aηρbη(?)k,l ∈ Z+,uη,vη ∈ S/η,k(aη)=(bη)+(uη),l(bη)=(aη)+(vη),则ρ为S/η上的同余,且是(S/η,+)上的最小半格同余.引理2.2.4设S是交换分配双半环,在S/η上定义一个关系λ为:aηλbη(?)m,n ∈ Z+,sη,tη ∈ S/η,(aη)*m =(bη)*(sη),(bη)*n =(aη)*(tη),则λ为S/η上的同余,且是(S/η,*)上的最小半格同余.定理2.2.5设S是交换分配双半环,定义S的一个关系σ为:a,b ∈S,aσb(?)aη(ρVλ)bη,则σ是双半环S上的最小半格同余.第三章:本章研究了有零元的乘法半群(S,·)为半格的双半环的理想和同余之间的关系.主要结论如下:引理 3.1 若a≤b,c≤d,则 a + c≤b + d,a*c≤b*d.引理3.2设ρ是S的一个同余关系,S/ρ上的“·”乘法可诱导偏序关系:aρ(?)bρ(?)(ab,b)∈ ρ.引理3.4若ρ ∈ C(S),则eρ是一个理想,记为I(ρ).引理 3.5(x,y)∈ρ(I)(?)a,b ∈I,使得ax=by.定理3.6设I ∈ T(S),则I(ρ(I))=I.定理 3.8 若 I ∈ T(S),则 ρ(I)∈RC(S).定理 3.9 若 ρ∈RC(S),则 ρ(I(ρ))= ρ ·定理3.10 T(S)和RC(S)之间存在一一对应关系.
【学位授予单位】：山东师范大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O153.3

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