四阶薛定谔算子的衰减估计及其在非线性色散方程中的应用

发布时间：2020-04-16 23:48

【摘要】：经典薛定谔算子-△+V的研究起源于非相对性量子力学.经过半个多世纪的深入发展,薛定谔算子已成为数学研究的核心对象,其不仅有丰富的理论研究内容,而且在调和分析、偏微分方程及微分几何等众多领域有着广泛的联系和应用.尤其近二十年来,薛定谔算子的色散估计在非线性薛定谔方程解的适定性和散射理论的研究中扮演着不可缺少的角色.作为二阶薛定谔算子的自然推广,本文主要探讨四阶薛定谔算子△2 + V.它的研究在非线性四阶薛定谔方程、梁方程以及共形几何等学科中有重要应用.具体地,在文中我们系统地研究四阶薛定谔算子△2 + V的各种色散估计,其中包括Kato-Jensen估计、局部衰减估计、Lp-衰减估计和Strichartz等估计,同时也探讨了一般高阶薛定谔算子的嵌入特征值问题.最后作为应用,我们研究了非线性四阶薛定谔方程解的散射问题.本文共分为六章:在第一章中,我们概述研究问题的背景及国内外研究现状,并简要介绍本文的主要工作及相关预备知识和一些记号.在第二章中,我们建立四阶薛定谔算子△2 +V的预解算子R(△2 + V;z)的低能渐进估计和高能衰减估计,即在加权Sobolev空间Hσs(Rd)中,当z → 0时,预解算子的渐进行为;以及当z → ∞时,预解算子的衰减估计.利用预解算子估计,通过极限吸收推出算子△2 + V的谱密度dE(λ)在λ → 0时的渐进性态和λ → ∞时的衰减估计.在第三章中,在预解算子估计的基础上,我们证明薛定谔群eit(△2+V)的局部衰减估计和Kato-Jensen估计.在最后一节中,从局部衰减估计出发,利用交换子方法,我们建立了四阶薛定谔传播子eit(△2+V)的Kato-Jensen型逐点估计.在第四章中,利用局部衰减估计和Kato-Jensen估计,我们进一步建立了eit(△2+V)的 Strichartz 估计和 L1 ∩ L2 → L∞ + L2 的衰减估计(Ginibre 型估计).在维数d = 3时,我们得到了 L1(R3)→ L∞(R3)的衰减估计.在第五章中,我们研究高阶薛定谔型算子P(D)+ V的嵌入特征值问题,其中P为m阶齐次椭圆多项式.一方面,对于某些高阶微分算子P(D),我们能够构造位势函数V∈C0∞(Rd),使得P(D))+ 存在正特征值嵌入到其连续谱中.另一方面,利用Virial等式,我们建立了一个高阶算子P(D)+ V不存在嵌入特征值的位势判别准则.在第六章中,我们研究非线性四阶薛定谔方程iut +(△2 + V)u + λ|u|p-1u = 0,(t,x)∈ R × Rd,u(0,x)= u0(x),在能量空间H2(Rd)中的散射问题.利用已建立的Strichartz估计,我们首先建立方程的全局适定性.其次在维数d ≥ 7时,利用Morawetz估计,我们得到了该方程在能量空间中散射的结果.
【学位授予单位】：华中师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175.3;O413

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本文编号：2630180