几个非线性可积方程的孤子解及其动力学性质

发布时间：2020-06-04 03:34

【摘要】：非线性可积方程的孤子解及其动力学性质的研究是可积系统理论研究中的最重要的课题。本论文主要研究了耦合聚焦-散焦复短脉冲方程、空间离散Hirota方程、空间离散非局部复的修正Korteweg-de Vries(mKdV)方程以及非局部复的耦合无色散方程。研究了这几个非线性可积方程的可积性,获得了这几个非线性可积方程的精确解,包括不同类型的孤子解、呼吸子解和怪波解。讨论了空间离散非局部复mKdV方程的可积性和对应连续方程可积性之间的联系。本文所获得的研究结果无疑给人们认识和理解这几个非线性可积系统的可积性增加了新的有价值的内容。文章分五个章节进行论述:第一章,主要介绍可积系统精确求解的几种方法以及怪波解的概念,并阐述本文的主要研究结果和创新点。第二章,研究一个耦合聚焦-散焦复短脉冲方程。众所周知,非线性Schrodinger方程(NLS)可以用来描述单色波在弱的非线性色散介质中的传播,例如光波。文献J.E.Rothenberg[Opt.Lett.17(1992)]指出,当光脉冲的宽度达到飞秒级(10-15s)的时候,NLS方程不能准确描述超短脉冲在非线性介质中的传播。T.Schafer和C.E.Wayne[Phys.D.196(2004)]提出了短脉冲(SP)方程,用它来描述超短脉冲在非线性介质中的传播,SP方程的出现引起了人们的极大兴趣。A.Sakovich,S.Sakovich在文献[J.Phys.Soc.Japan 74(2005)]中给出了SP方程的Lax对,证明了SP方程在hodograph变换下可以转化成sine-Gordon方程。B.F.Feng[Phys.D 297(2015)]从Maxwell方程组出发,推导出了复短脉冲(CSP)方程和耦合聚焦-聚焦CSP方程,并用Hirota双线性方法求得了这个方程的多孤子解。L.M.Ling,B.F.Feng,Z.N.Zhu[Phys.D 327(2016)]用Darboux变换(DT)方法构造了 CSP方程的多孤子解、多呼吸子解和高阶怪波解。他们[Phys.Rev.E 93(2016)]从Maxwell方程组出发,推导出了散焦CSP方程,并用Darboux变换方法求得了这个方程的多暗孤子解。耦合NLS(CNLS)方程(聚焦-聚焦、聚焦-散焦、散焦-散焦)和聚焦、散焦CSP方程的研究工作启发我们研究耦合CSP(CCSP)方程。聚焦-聚焦CCSP方程的孤子解在文献[Phys.D.297(2015)]和[Wave Motion 67(2016)]中已被研究。本章中我们用Hirota双线性方法研究求解了聚焦-散焦CCSP方程的多孤子解,包括亮-亮、亮-暗、暗-暗孤子解以及呼吸子解和亮、暗怪波解。同时指出每一类孤子中都存在三种不同的波型:光滑孤子、尖峰孤子和圈孤子。考察了孤子之间的相互作用,发现亮-亮孤子之间会出现非弹性碰撞,亮-暗孤子之间会呈现周期现象,暗-暗孤子中光滑孤子和尖峰孤子碰撞后保持各自的形态不变。这些表明聚焦-散焦CCSP方程的孤子解性态不同于单分量的CSP方程和聚焦-聚焦CCSP方程。第三章,研究一个空间离散Hirota方程。A.Pickering,H.Q.Zhao和Z.N.Zhu[Pro-c.R.Soc.A 427(2016)]研究了一个空间离散Hirota方程与Hirota方程的可积性之间的联系。L.Draper[Oceanus,10(1964)]首先提出怪波的概念,此后怪波现象相继在许多不同的领域被发现。Akhmediev,A.Ankiewicz和M.Taki在文献[Phys.Lett.A 373(2009)]中指出,聚焦NLS方程的有理解能够模拟深水中怪波的发生,而高阶怪波解是一阶有理解的非线性叠加。B.L.Guo,L.M.Ling和Q.P.LiuPhys.Rev.E 85(2012)]用广义Darboux变换构造了聚焦NLS方程的N-阶怪波解。关于Hirota方程的高阶怪波已有研究。J.HePhys.Rev.E 85(2012)]用改进的Darboux变换求解了Hirota方程的高阶怪波解。X.Wang,Y.Q.Li,Y.Chen[Wave Motion 51(2014)]用广义Darboux变换方法求解了耦合Hirota方程的高阶怪波解。N.Akhmediev,A.Ankiewicz和J.M.Soto-Crespon[Phys.Rev.E 80(2009)]用双线性方法得到Ablowitz-Ladik(AL)方程和离散Hirota方程的N-阶有理解。随后Y.Ohta和J.K.Yang[J.Phys.A 47(2014)]用双线性方法给出了离散Hirota方程的N-阶怪波解。本章中,我们用广义Darboux变换构造了一个新的空间离散Hirota方程的N-阶怪波解,分析了怪波解的性质,揭示出了这个空间离散Hirota方程的高阶怪波具有非常丰富的结构。对1-阶和2-阶离散怪波解做了数值模拟,结果显示怪波解的稳定性和怪波的强弱程度有关。我们用等高线法[Proc R.Soc.A 471(2015)]考察了一阶怪波的长度、宽度和面积,并分析了怪波的调制不稳定性。第四章,研究一个空间离散非局部复mKdV方程的可积性和非局部复mKdV方程的可积性之间的联系。Z.N.Zhu,H.Q.Zhao,X.N.Wu在文献[J.Math.Phys.52(2011)]中研究了一个耦合空间离散mKdV系统的可积性和一个耦合mKdV系统的可积性之间的联系,指出这个耦合离散mKdV系统的Lax对、守恒律、Darboux变换、精确解在空间步长趋于零时,收敛到耦合mKdV系统对应的结果。最近,Ablowitz和Mus-slimani[Phys.Rev.Lett.110(2013)]提出了一个新的非线性可积方程iqt(x,t)+qxx(x,t)±2q2(x,t)q*(-x,t)=0,(1)称之为非局部的NLS方程,并用反散射方法求解了该方程的Cauchy问题。他们在文献[Phys.Rev.E 90(2014)]中研究了非局部离散NLS方程,用Riemann-Hilbert方法求得了该方程的离散孤子解。Ablowitz和Musslimani在文献[Nonlinearity 29(2016)]和文献[Stud.Appl.Math.139(2016)]中提出了一系列非线性非局部可积方程,包括非局部实的和复的mKdV方程。L.Y.Ma,S.F.Shen和Z.N.Zhu[J.Math.Phys.58(2017)]研究了非局部复mKdV方程的规范等价结构,证明了它等价于一个旋转链模型。本章中,我们研究空间离散非局部复mKdV方程可积性和非局部复mKdV方程可积性之间的联系。构造了这个空间离散非局部复mKdV方程的Lax对、N-次Darboux变换,得到了该方程的反暗孤子,M-型孤子,呼吸子,扭结孤子和局部有理解。证明了该方程的Lax对、DT、孤子解的连续极限收敛到非局部复mKdV方程相对应的结果。第五章,研究一个非局部复的耦合无色散(CCD)方程。Ablowitz和Musslimani在文献[Nonlinearity 29(2016)]中提出了非局部sine-Gordon方程。J.L.Ji,Z.L,Huang和Z.N.Zhu[Ann.Math.Sci.Appl.29(2016)]用Darboux变换求出了这个方程的精确解,同时提出了非局部复的CCD方程。K.Chen,X.Deng,S.Y Lou,D.J.Zhang[Stud.in Appl.Math.141(2018)]从经典复CD方程的双Wronskian形式的解约化得到了非局部复的CCD方程的双Wronskian形式的解。本章中,我们构造了非局部复的CCD方程的N-次Darboux变换,得到了该方程的精确解并对解的性质进行了研究。从零种子解出发,我们得到了该方程的反暗孤子,W型孤子和“增长孤子”、“衰减孤子”以及周期波解。从非零种子解出发,得到了反暗-反暗、反暗-暗、暗-暗孤子。从零种子解出发,我们还得到了反暗-W型2孤子,以及反暗-反暗-W型3孤子,并研究了这些孤子的相互作用。结果显示,和实的非局部CD方程相比,非局部复的CCD方程的解具有更为丰富的性质。
【学位授予单位】：上海交通大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175

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