GDNLSE和含任意次非线性项的广义DS方程的精确解

发布时间：2020-06-07 00:21

【摘要】：非线性偏微分方程是现阶段数学学科中的一个不可或缺的分支,它几乎涉及到自然社会科学的各个领域.对非线性现象的研究,常常被研究者们归结为求解非线性偏微分方程(组)的问题.但到目前为止,对于求非线性偏微分方程的精确解的问题,尚未存在一种统一的方法.因此,继续寻找有效可行的求解非线性偏微分方程方法,仍然是一项十分重要又有意义的工作.在本文中,我们分别运用动力系统和首次积分法两种方法,求广义带导数的非线性Schrodinger方程(GDNLSE)以及含任意次非线性项的广义Davey-Stewartson(DS)方程的精确行波解.利用动力系统方法,首先,引入相应的行波变换,将偏微分方程化为常微分方程,其等价于一个平面动力系统.其次,利用Maple软件,结合常微分方程定性理论,画出相图并根据参数空间分析相图的动力学性质;最后,基于相图中的轨道,借助Maple软件计算得出方程的精确解.利用首次积分法,根据多项式整除定理分情况讨论参数空间,借助Maple软件求得方程的精确解.参考前人用其他方法求得的解与本文所得到的解进行对比,证明本文所得的精确解推广、扩充和丰富了已有的结果.通过研究,我们得到了孤立波解、周期波解、扭结波解及反扭结波解等.它们由三角函数、指数函数、雅可比椭圆函数和双曲函数等表示.从得到的精确解的结果上看,动力系统方法和首次积分法得到的结果都比较丰富;从求解过程来看,动力系统方法直接、简单、有效,而首次积分法也显示了求解非线性偏微分方程的有效性.
【图文】：

相图,奇点,鞍点,可积系统

若■／＞邋０且（ｆｒａｃｅＭ）２邋－邋４７邋＜０（＞邋０），那么该奇点为中心（结点）？逡逑下面，我们进行参数空间的划分，用雅克比行列式判断奇点类型，并对应于逡逑不同的参数空间，利用数学软件Ｍａｐｌｅ画出相图，如图３．１．从图中可以看出：逡逑情况１：邋＾４邋＞邋０，邋Ｓ邋＜邋０，邋Ｃ邋＞邋０时，如图３．１（ａ），系统（３．２．５）存在五个奇点，其逡逑中五（０，０）是鞍点，Ｅ（也，２，０）是鞍点，五（也．４，０）是中心．逡逑情况２：义＞邋０，，邋Ｃ邋＜邋０时，如图３．ｌ（ｂ，ｃ），系统（３．２．５）存在三个奇点，其逡逑中五（０，０）是中心，五（和，２，0）是鞍点．逡逑情况３：邋Ａ邋＜邋０，Ｃ邋＞邋０时，如图３．１（ｄ，ｆ），系统（３．２．５）存在三个奇点，其逡逑中Ｅ（０，０）是鞍点，Ｅ（０３，４：0）是中心．逡逑情况４：邋４邋＜邋０，邋５邋＞邋０，邋Ｃ邋＜邋０时，如图３．１（ｆ），系统（３．２．５）存在五个奇点，其逡逑中取０

相图,相图,参数空间,奇点类型

我们取定ａ邋＝邋＾邋Ｃ邋＜邋０，进行参数空间的划分，那么，相图轨线的变逡逑化仅依赖于参数对（ＡＳ）的变化．用雅克比行列式判断奇点类型，并对应于不同逡逑的参数空间，利用Ｍａｐｌｅ软件画出相图，如图４．１．（当然，当ａ邋＃逦0邋０时的情逡逑况也可以类似的进行分析，在这里，仅对ａ邋＝邋Ｃ邋＜邋０的情况进行详细介绍）．从逡逑图４．１中可以看出：逡逑嫇逡逑⑷邋＞４邋＞邋０，邋Ｓ邋＞邋０逦（ｂ）邋Ａ邋＞邋０，邋＞１邋＜邋０，邋Ｂ邋＞邋０逦（ｃ）邋Ａ邋＝邋０，邋Ａ邋＜邋０，邋Ｂ邋＞邋０逡逑＿＿邋＿逡逑－０－８－１邋、？－－Ｖ邋一，’逡逑（ｄ）邋△邋＜邋０，邋NB邋＜邋０逦（ｅ）邋Ａ邋＝邋０，邋Ａ邋＜邋０，邋Ｂ邋＜邋０邋（ｆ）邋Ａ邋＞邋０，邋＾邋＜邋０，邋＜邋０逡逑ＶＬＩ逡逑（ｇ）邋＾＞０，Ｂ＜０逡逑图４．１系统（４．２．５）的相图逡逑３１逡逑
【学位授予单位】：云南财经大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175.29

【参考文献】