图上的泛函不等式

发布时间：2020-06-08 03:01

【摘要】：图上的分析作为非局部分析的最基本情形之一近期成为研究热点.本论文研究带权重图上泛函不等式的若干基本问题.我们在带权重图和其连续模型——度量图上系统引入几何不等式和泛函不等式,并研究了两类不等式的内在联系.这部分工作主要是基于Maz'ya[1]在光滑情形的经典理论,并大大推广了 Keller等人[2]关于带权重图的Cheeger不等式的工作.这里的创新点主要在于方法,我们先在度量图上证明主要结果,再利用调和延拓的想法将它们迁移到带权重图上.我们处理的另一个基本问题是有限支撑函数在带权重图上Sobolev空间中的稠密性.主要判据依赖于带权重图在合适距离下的Cauchy边界的容度.这部分工作将Huang等人[3]在L2-Sobolev空间情形的结果推广到一般的Lp-Sobolev空间.下面是各章的主要内容.第一章介绍研究背景和意义,并总结了本文主要结果.带权重图和度量图的概念在第二章引入.带权重图上的辅助权重及其诱导出的最短路径距离是本章的关键概念.在此基础上,我们在两类空间上引入了合适的距离结构,并定义了函数的能量泛函.在第三、四章中我们主要考虑无穷图.我们分别引入了 Cheeger常数、广义Cheeger常数,并考虑了它们与一般的(q,p)型Sobolev不等式的关系.类比于经典理论,我们证明Sobolev不等式和等容度不等式的等价关系.这里最重要的工具是第三章证明的电导不等式.第五章转而考虑有限图情形.我们研究了(q,p)型Poincare不等式与相应的广义Cheeger常数、等容度常数的关系.考虑一个带有辅助权重的图.在最后一章中,假设图的Cauchy边界容度有限,我们证明了有限支撑函数在Sobolev空间中稠密当且仅当边界容度为0.
【学位授予单位】：南京信息工程大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O157.5

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