非线性奇异两点边值问题解的渐近展开和Chebyshev配置法

发布时间：2020-06-12 11:52

【摘要】：非线性奇异两点边值问题是一类重要的模型方程,在数学和物理的许多领域有广泛作用.由于该方程包含奇异因子,其解在区间端点通常表现为导数奇异,导致传统算法的计算精度显著下降.本文旨在精确刻画方程的解在奇点的性质,并据此设计高精度的有效算法.本文算法由以下几部分组成.第一,利用Green函数将非线性奇异两点边值问题转化为第二类Fredholm积分方程;第二,利用Picard迭代和级数展开求出Fredholm积分方程的解在奇点的Puiseux级数展开式的有限项截断,它是方程解的奇异程度的准确刻画,但包含有一个待定参数;第三,利用解已知的奇异信息,构造一个光滑的自变量变换,使得变换后的奇异两点边值问题的解充分光滑;最后,使用Chebyshev配置法求得高精度的数值解,得到整个区间上的Chebyshev插值多项式逼近,并由此确定解的Puiseux级数展开式中的待定参数.数值算例验证了方法的有效性,与直接使用Chebyshev配置法的结果相比,计算精度得到了大幅度的提高.
【图文】：

积分区域

进一步对上式在［Ｔ．ｌ丨上积分．得逡逑ｕ（ｌ）－ｕ（ｘ）＝邋［邋－ｄｊ］邋Ｉ邋ｆ（￡，．ｕ（0）ｄｉ，逡逑Ｊ邋ｘ邋”邋Ｊ0逡逑其积分区域为Ｄ邋＝邋｛（《．／／）丨ａ：邋￡邋＂邋￡邋１．０邋￡邋ｄ，／｝．改变积分次序．则有Ｄ邋＝邋｛（（．，／）邋｜邋０邋Ｓ邋＃rP樱]3?Ｓ邋０邋￡邋１｝邋Ｕ邋｛（《．／；／）邋｜邋－Ｔ邋￡邋（邋￡邋１．４邋￡邋７７邋Ｓ邋１｝．如图２所＞Ｋ．贝ｌ］逡逑ｕ（ｌ）邋－邋ｕ（ｘ）邋＝邋－邋Ｉ邋ｌｎａ－／（＾．ｗ（0）＾邋－邋／邋Ｉｎ＾／（＾．邋ｕ（0）ｒｉ＾．逡逑．／0逦．ｌｘ逡逑由逦１逡逑Ｗ’⑴＝／／（《，．《（０）屯，ＣＴ‘〃⑴邋＋７？／⑴＝Ｒ逡逑Ｊｏ逡逑可得逦１逡逑ｕ（ｉ）邋＝邋－－２邋［邋ｆ（＾．ｕ（0）ｄｔ逡逑Ｃ邋0■邋Ｊｏ逡逑则逦】逦，．逡逑“⑷二＾一」／邋／ｄ〃（0Ｘ邋十邋／邋ｌｉｉ：ｒ／（ｔ＂．（（）风邋＋邋／邋ｌｕ（．／＇（00Ｘ－逡逑Ｇ邋Ｇ邋Ｊ［）逦Ｊｏ逦Ｊｘ逡逑即逦．ｒ逡逑ｕ（ｘ）邋＝邋—＋邋［逦ｌｎ；ｒ－－／（《．邋ｕ（0）炎＋／邋Ｘ－－／（《．邋ｕ（0）ｔ／《．逦（３．１３）逡逑（ｊ邋九邋Ｌ邋0＼逦Ｊｘ邋Ｌ邋ａ」逡逑引入Ｇｒｅｅｎ函数逡逑ｌｎｒ邋—」？逡逑Ｇ＇（ｘ．0邋＝逦ｆ逦（３．１４）逡逑Ｋ邋—人邋ｘ＜＾邋＜邋ｌ．逡逑ａ逡逑则方程（３．１３）的解可以写成如下形式逡逑ｖ（ｘ）邋＝邋—邋＋邋／邋Ｇ（．ｒ．0ｆ｛＾．ｕ（0）ｄｉ，．逦（３．１５）逡逑．／0逡逑以上我们使用Ｇｒｅｅｎ函数将奇异两点边值问题转化为等价的第二类Ｆｒｅｅｄｈｏｌｍ积分方程．逡逑下一节求出其解在ｔ邋＝邋０?

对数图,近似解,绝对误差,级数展开式

似解．可知ｗ（：ｒ）的Ｐｕｉｓｅｕｘ级数展开式中ａ邋＝邋－０．２５邋＝邋－ｆ做为比较．不经过光用Ｃ’ｈｅｂｙｓｈｅｖ配置法求解原方程．得逡逑邋－１．３８６２９邋－邋１．４４０９１ａ：邋＋邋４８．３６５３ｘ２邋－邋１４５６．９７ｘ３邋＋邋２８４７３．６ｘ４邋－邋３７３７５４．ｘ５邋＋邋３．４５０６邋２．３２４５２邋ｘ邋ｌｏＶ邋＋邋１．１７４３８邋ｘ邋１０ｓａ；８邋＋邋？邋？邋？邋＋邋１．７１９５２邋ｘ邋１０７．？－２０．逡逑得到ａ邋＝邋－ｆ可知在ｘ邋＝邋０的Ｐｕｉｓｅｕｘ级数展开式为逡逑，ｃ２／３逦ｒ４／３邋ｒ２邋ｘＳ／３邋；．１０／３邋ｘ４逦ａ，１４／３逦＾１６／３逡逑〃．ｐ（．ｉ）邋—邋一邋ｌｏｇ（４）邋－邋丁丁邋ｊ邋—通十邋—邋５１２0邋十邋２４５７６邋＿邋１１４６８８邋＿邋５２４２８８ｘ６逦ｒ２０／３逦ｘ＊２２／３逦ＸＳ逦＾４０／３逡逑—２３５９２９６邋十邋１０４８５７６０邋—邋４６１３７３４４邋＋邋２０１３２６５９２邋了邋．．．邋丁邋２１９９０２３２５５５５２０＇逡逑绘出了这三种近似解与精确解绝对误差的对数图．由图３知．对于这种奇异由于精确解在ｘ邋＝邋0点不光滑．虽然Ｃｈｅｂｙｓｈｅ、？配置法可以直接求解．但计算精例中仅为１（Ｔ３量级．经过光滑变换后．计算解的精度可达到１（）邋１４量级．计算度提高．另外本例中级数收敛很快．其对ｗ（．ｔ）的近似在区间丨（）．ｌｊ邋１：也达到了４．２逦求解非线性奇异两点边值问题逡逑．ｒ＞／２ｕ／＝（＿４邋＋邋５；ｒ３／２）！／５逡逑
【学位授予单位】：天津师范大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175.8

【参考文献】