像空间分析与最优性和对偶的若干研究

发布时间：2020-06-14 22:00

【摘要】：本文主要从像空间分析的视角研究约束优化问题的最优性条件和对偶理论。研究了向量优化问题关于(弱)有效解的Lagrangian型充分最优性条件和Karush-Kuhn-Tucker必要条件以及关于E-最优解的鞍点充分最优性条件和几个必要最优性条件。研究了广义拟平衡问题沿用Lagrange对偶思想的对偶理论和向量优化问题的共轭对偶理论。全文共分为七章,具体如下:第一章,首先回顾了优化问题的研究背景和最新发展。然后,阐述了像空间分析方法的基本特征、向量优化问题的各种解、标量和向量优化问题充分必要最优性条件和对偶理论的相关研究。最后,简单介绍了本文的选题动机和主要工作。第二章,介绍了本文后面将会用到的一些概念、基本符号,几类重要函数包括示性函数、距离函数、Gerstwitz函数和定向距离函数,以及切锥、法锥、方向导数、次微分和Lipschitz连续性的定义。第三章,针对一般约束优化问题,在像空间中提出关于有效解和弱有效解的弱分离函数。利用Gerstwitz函数构造一类特殊的非线性分离函数和对应的广义Lagrangian函数。借助这样的非线性分离函数,我们推导一般意义下的充分最优性条件。在适当的限制条件下,我们对非凸问题建立Lagrangian型必要最优性条件,并进一步推导以Clarke次微分来表达的Karush-Kuhn-Tucker必要条件。最后,作为应用,我们考虑线性多目标优化问题,给出其有效解集的一个等价刻画。第四章,考虑一般框架下约束多目标优化问题就E-最优解的最优性条件。其中,E是一个顶点在原点的非平凡的闭的凸的点锥。对于E是非凸的情形,为了实现像空间中两个合适集合的分离,我们分别引入向量正则弱分离函数和标量弱分离函数,并建立了鞍点型充分最优性条件。此外,对这样一个问题的E-最优解,我们构造了强分离函数,并基于强择优定理推导了相应的必要最优性条件。第五章,应用像空间分析方法,研究广义拟平衡问题的对偶理论。广义拟平衡问题首先被转化成一个极小化问题。借助线性/非线性的分离函数,极小化问题被进一步重新构造为一个像问题。在像空间中,我们构造像问题的对偶问题。然后,在鞍点条件以及等价的线性/非线性正则分离条件下,我们证明了像问题和其对偶问题之间的零对偶间隙成立。最后,我们也给出了更多保证零对偶间隙成立的充分条件。第六章,研究一般约束向量优化问题的共轭对偶理论。通过使用两类极大点的定义,我们引入共轭映射和次微分的概念。我们还通过扰动方法构造共轭对偶问题。而且,借助向量弱分离函数,我们提出了分离条件。然后,分离条件被证明是保证强对偶定理成立的一个新的充分条件。第七章,对本文的主要内容进行简单总结,并提出一些值得进一步研究和探索的问题。
【学位授予单位】：重庆大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O224
【图文】：

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的图形Fig.3.1Graphof()xfX()xfX

图形,广义,向量

图 4.1 改进集E的图形Fig. 4.1 Graph of Improvement Set E集2 21 2 1 2 1S {( x , x ) : 2 x 1 , x x; ) u T v ，其中2 ，并将T 取1 1 2 3 2 2min{ | |, , }, ( )D v v v v T v v 。 (1,0)来验证 ( x , )是广义向量 Lagra21 2T g ( x ) 0, T g ( x) 0, ，我们得2( x , ) f ( x ) T g ( x) (1,1), 。22 0 E, ，即有( , ) ( ,Ex x 2 2 41 1 1 1 1 min{0, x x 2, x x 2}, x [ 2, 2 41 1 1 1 2) ( x x 2) x x。因为1h ( x )在[ 故我们可以得到 21 1 1T g ( x ) min{0, x x 2 2 2 1 2 1 , x ) : 2 x 1, x x}可以推出

【参考文献】