随机扩散方程和非局部扩散方程的动力学行为研究

发布时间：2020-06-21 21:49

【摘要】：在生物数学研究中,种群动力学性质已经成为了一个重要内容,而关于具随机扩散项或者非局部扩散项的种群模型的动力学研究已经受到了许多数学家和生物学家的广泛关注和深入研究.此外,时滞的引入可使所建立的系统能更准确地反映实际情况,这是因为考虑过去状态对现在变化率的影响显得更加合理.特别是在生物数学研究中,大量的种群动力学模型是用时滞反应扩散方程来描述的.由于能量在生物个体中传递和转化的差异,对具有不同功能反应函数以及扩散项的捕食-被捕食系统的动力学研究,如稳态解的存在性和稳定性,由时滞引起的Hopf分支等问题,都具有理论意义和实际意义.在非线性科学中,分支问题研究非常重要,它反映了现实世界中某个或某些因素的细微变化却能对物质的变化产生巨大影响.在种群动力学研究中,分支研究可以帮助我们了解某些参数(比如生物的生存空间和成熟期等)对种群动力学所产生的影响(比如平衡态的稳定或振荡),通过调控这些数据可以使得物种向着人们所期望的方向发展.本文主要研究空间非齐次稳态解的存在性、稳定性以及分岔现象.主要研究内容分为以下几个部分:首先,我们研究了一个具有齐次Dirichlet边界条件和随机扩散的一维时滞模型.借助于Lyapunov Schmidt约化方法,得到空间非齐次稳态解的存在性和多重性.通过对特征方程进行分析,我们得到空间非齐次平衡态的稳定性,以及在它附近产生的Hopf分支.接着,通过运用正规型理论和中心流形定理,我们研究了Hopf分支方向和分支周期解的稳定性.最后,在一维空间中选择特殊的果蝇模型给出具体例子进行详细分析,我们得到和一般化理论一致的结果,此外还得到了一些新的理论结果.接着,我们详细研究了一个带齐次Dirichlet边界条件和随机扩散且具有一般功能反应函数的捕食与被捕食的二维时滞模型的动力学行为.通过运用Lyapunov Schmidt约化方法,我们得到了系统在多参数变化下空间非齐次稳态解的存在性.此外,还得到从平凡解附近分支出的空间非齐次稳态解及其稳定性,以及在它附近产生Hopf分支的条件.最后,在一维空间上,选择不同的功能反应函数给出具体例子,我们得到和一般化理论一致的结果,并利用数值模拟来解释我们所获得的理论结果.最后,我们考虑了非局部扩散Logistic模型的动力学行为.通过运用上下解方法、不动点理论、Lyapunov-Schmidt约化方法和分支理论,分别得到了模型在不同参数变化下稳态解的存在性、多重性和稳定性结论.
【学位授予单位】：湖南大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175

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本文编号：2724693