比例时滞Volterra积分方程及美式期权定价问题的数值方法研究

发布时间：2020-07-05 02:03

【摘要】：数学、自然科学、工程技术领域和金融领域中的许多实际问题都可以归结为积分方程问题,然后对所得积分方程进行变换来求解这些实际应用问题Black-Scholes模型下美式看跌期权的最佳实施边界B(t)就可以转化为非线性的第二类Volterra积分方程.本文首先用谱方法求解了比例时滞弱奇异、Volterra积分方程,然后用预估校正法和完全匹配技巧(PML)与差分法和牛顿法结合来求解美式看跌期权价格和最佳实施边界.本文分三章.在第一章中,我们就Volterra积分方程和美式期权定价的历史和现状做了详细的介绍,对现有的Volterra积分方程和美式期权定价问题的数值解法加以归纳和总结.第二章中,用谱方法求解了比例时滞弱奇异Volterra积分方程,并对解法的收敛性加以证明,最后给出了数值算例.本章的主要结论如下：比例时滞弱奇异Volterra积分方程其中0 q1,0 μ1, y(t)是未知函数,g(t),K(t,s)是己知函数,且K(t,qt)≠0,(t ∈I)对方程经过变量代换和函数变换得到如下形式：其中方程(2)的近似解设为uN(x)∈PN且其具有如下形式其中ej(x)为Lagrange插值多项式的插值基函数,插值结点为区间[-1,1]上的(N+1)个Jacobi Gauss,Jacobi Gauss-Radau,或者Jacobi Gauss-Lobatto点{xi}i=0,N在Jacobi谱方法下的数值解形式如下：并且在L∞-范数下有如下的收敛性定理.定理11设是方程(2)的精确解,uN是由谱方法得到的方程的数值解(4).如果0μ＜1/2,那么这里N足够大,其中K由(3)定义,C是与N无关的常数,我们还建立了带权的L2-范数下的收敛性定理.定理22设u是方程(2)的精确解,uN是由谱方法得到的方程的数值解(4).如其中K*由(6)定义.在第三章中,分别用预估校正法和完全匹配技巧(PML)与差分法和牛顿法结合来求解美式看跌期权.首先我们采用预估校正法来求解如下美式看跌期权Black-Scholes模型：这里,是最佳实施边界,未知,且最佳实施边界满足：其中,KX为永久美式看跌期权的价格,预估校正法具体算法如下：接下来,用完全匹配技巧(PML)与差分法和牛顿法结合来求解美式看跌期权Black-Scholes模型：其中,为最佳实施边界,未知,本节用Front-Fixing变换配合着完全匹配层技巧(PML技巧)将问题(9)化成一个规则且有界的区域上的问题,此时原问题变成了抛物问题,我们用有限差分法和Newton法交替迭代求解变换后的新方程,进一步可以同时得到期权价格P(S,t)和最佳实施边界B(t).最后给出了相应的数值实验.
【学位授予单位】：吉林大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O241.83

【参考文献】