耦合非线性波动方程解的爆破

发布时间：2020-07-08 03:07

【摘要】：本文主要研究两个问题,第一个问题是研究一类耦合非线性波动方程解爆破时间的下界,第二个问题是研究一类非线性壀合粘弹性波动方程解的爆破,所使用的方法主要是构造辅助函数法以及一些偏微分方程理论的重要方法。全文共分为三章:在第一章中,简述了耦合非线性波动方程解的爆破问题的研究进展。在第二章中,考虑如下耦合非线性波动方程解爆破时间的下界估计问题,utt-Δu+ ut= ut(u,v),(x,t)∈Ω×(0,T),vtt-Δv+vt=f2(u,v),(x,t)∈Ω×(0,T),u(x,t)= v(x,t)= 0,(x,t)∈(?)Ω×(0,T),u(x,0)= u0(x),ut(x,0)= u1(x),x ∈ Ω,v(x,0)= v0(x),vt(x,0)=v1(x),x∈Ω,其中Ω是Rn中的有界区域,且带有光滑边界(?Ω,fi(·,·):R2→R,i=1,2,具有下面的形式f1(u,v)= a|u + v|2(r+1)(u + v)+ b|u|r u|v|r+2,f2(u,v)= a|u+v| 2+ +1)(u + v)+ b|v|rv|u|r+2,其中以a,b,r为常数且a,b,0,r满足1r,n = 1,2,-1r0,n3.定义系统能量,构造了相应的辅助函数,通过对系统能量估计,获得了关于辅助函数满足的一个不等式,从而得到了解爆破时间的下界估计。在第三章中主要考虑如下的波动方程组utt-Δu + ∫t0 g(t-s)Δu(x,s)ds + |ut|m-1ut(x,t)∈ Ω ×(0,T),Vtt-Δv +∫0th(t,s)Δv+(x,s)ds+ |vt|r-1vt ∈ Ω×(0,T),-Δvt-Δvtt =f2(u,v),u(x,t)= 0,v(x,t)= 0,(x,t)∈(?)Ω ×(0,T),u(x,0)= u0(x),ut(x,0)= u1(x),x ∈ Ω,v(x,0)= v0(x),vt(x,0)=v1(x),x∈Ω,其中Ω是具有光滑边界(?)Ω的有界区域,且Ω(?)Rn,g和h是给定的函数,u0(x),u1(X),v0(x)和v1(x)是已知的初值函数,f1(u,v)和f2(u,v)形式如下f1(u,v)= a|u + v|2(ρ+1)(u + v)+ b|u|ρu|v|(ρ+2),f2(u,v)= a|n + v|2(ρ+1)(u + v)+ b|v|ρ v|u|(ρ+2),其中a,b0,ρ满足-1ρ n= 1,2,-1ρ≤3-n/n-2,n3.通过构造辅助函数,并利用一些不等式对所构的函数进行估计,从而证明了方程在有限时间内爆破,并得出了方程解爆破时刻的上界。
【学位授予单位】：山西大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175

【参考文献】