非线性微分方程的解析解与可积性及其Riemann-Hilbert问题的研究

发布时间：2020-07-11 10:50

【摘要】：众所周知,研究非线性微分方程的解析解和可积性有利于解释相应物理现象和工程应用.本文主要研究几类非线性微分方程的解析解、对称性、守恒率及其Riemann-Hilbert 问题.本文第二章和第三章主要通过发展Bell多项式和Riemann Theta函数的相关知识,来研究广义的(3+1)-维KdV-型方程,并得到了方程的双线性表示、孤子解、双线性Backlund变换,Lax对以及无穷守恒律.同时也构造了它的一周期波解和二周期波解,并详细地分析了它们的渐近性性质,证明了在一定的约束条件下,一个方程的周期解可以退化为其孤子解.在第四章,通过推广李群的知识,对广义耦合的Whitham-Broer-Kaup-Like方程进行详细的李对称分析,得到方程所对应的向量场.在此基础上,研究了其伴随性质、最优系统、相似约化及其幂级数解.此外,通过发展新的守恒率定理,系统的构造了耦合的Whitham-Broer-Kaup-Like方程所对应的守恒律.在第五章,基于(2+1)-维Ito方程和广义(3+1)-维Kadomtsev-Petviashvili方程的双线性表示,成功的得到了这两个方程的解析解,包括呼吸波解和怪波解.并对方程的呼吸波和怪波的动力行为进行了图形模拟和分析.这些解能够反应怪波和呼吸波的基本特性.另外,通过引入两个密度函数,成功获得了一个新的广义(3+1)-维Kadomtsev-Petviashvili方程的怪波解和组合解,并对这类怪波解和组合解进行了图形模拟和分析.特别的,这种组合解能够反应孤波与怪波之间的相互作用现象.另外,通过推广Bell多项式的相关知识,详细的构造了广义(2+1)-维Boussinesq方程的双线性表示,然后基于该方程的双线性表示,系统的推到了该方程的的呼吸波解和怪波解.然后并详细地分析了它们的渐近性性质,证明在特定的条件下,一个方程的呼吸波解能趋于其对应的怪波解.最后对这类解进行了详细的图像模拟和分析.接下来,通过推广Riemann-Hilbert方法,研究了一个耦合薛定谔方程的Riemann-Hilbert问题,然后基于该方程的Riemann-Hilbert问题,详细的构造了方程所对应多维孤子解.另外,通过图像模拟这类孤子解的传播现象.最后,对全文进行了总结和展望.
【学位授予单位】：中国矿业大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175
【图文】：

广义,方程,条件,周期解

图３－２广义ＫｄＶ－型方程（３．１）在参数条件沪＝ｆ邋ｆ邋ａｎｄ砷＝０，坍＝妁＝ｆｔ邋＝邋１，阳＝逡逑／？ｆｃ．２逦＾２逦ｋ２逡逑＂２邋—邋0２邋—邋0．３，邋Ｔ］＿ｌ邋—邋丁１２邋—邋0．５ｉ，邋Ｔ＂２２邋—邋２ｉ，邋0Ｌ邋—邋—邋１，邋ｊ３邋—邋２，邋＾邋—邋４，邋Ｓ＼邋—邋０）邋Ｓ２邋—邋Ｏ５邋＾邋—邋１邋下又寸逡逑应的２－周期解的图像．其中（ａ）立体图；（ｂ）俯视图；（ｃ）等高线图；（ｄ），（ｅ），（ｆ）分别为２－周期解沿逡逑ｚ轴，ｙ轴，〖轴的波传播形式．逡逑Ｆｉｇｕｒｅ邋３－２邋Ａ邋ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ邋ｔｗｏ－ｐｅｒｉｏｄｉｃ邋ｗａｖｅ邋ｏｆ邋ｔｈｅ邋ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ邋ＫｄＶ－ｌｉｋｅ邋ｍｏｄｅｌ邋ｅｑｕａｔｉｏｎ邋（３．１）邋ｗｉｔｈ逡逑ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ：逦＝邋＾邋＝邋＾邋ａｎ＾邋ｕｏ邋—邋0？邋Ｍｉ邋—邋＾１邋—邋＾１邋—逦＝邋１＾２邋＝邋Ｑ２邋＝邋0－３，ｒｎ邋＝逡逑ｚ，邋ｒ１２邋＝邋０．５ｉ，邋ｒ２２邋＝邋２ｉ，邋ａ邋＝邋—邋１，邋／３邋＝邋２，７邋＝邋４，６ｘ邋＝邋０，邋￡２邋—邋0邋ｗｉｔｈ邋ｚ邋＝邋１．邋Ｔｈｉｓ邋ｆｉｇｕｒｅ邋ｓｈｏｗｓ邋ｔｈａｔ逡逑ｔｗｏ－ｐｅｒｉｏｄｉｃ邋ｗａｖｅ邋ｉｓ邋ａｌｍｏｓｔ邋ｏｎｅ邋ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ，邋（ａ）邋Ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅ邋ｖｉｅｗ邋ｏｆ邋ｔｈｅ邋ｒｅａｌ邋ｐａｒｔ邋ｏｆ邋ｔｈｅ邋ｐｅｒｉｏｄｉｃ逡逑ｗａｖｅ邋Ｒｅ（ｕ）．邋（ｂ）邋Ｔｈｅ邋ｏｖｅｒｈｅａｄ邋ｖｉｅｗ邋ｏｆ邋ｔｈｅ邋ｗａｖｅ，邋（ｃ）邋Ｔｈｅ邋ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ邋ｃｏｎｔｏｕｒ邋ｐｌｏｔ，邋（ｄ）邋Ｔｈｅ邋ｗａｖｅ逡逑ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ邋ｐａｔｔｅｒｎ邋ｏｆ邋ｔｈｅ邋ｗａｖｅ邋ａｌｏｎｇ

方程,条件,参数,幂级数解

藉（４．１）的级数解．在此详细的推到被省略．逡逑为了更好了解幂级数解的性质，接下来，通过选取恰当的参数，我们虽现逡逑图４－１和图４－２来描述幂级数解的性质．逡逑：；ｑ邋Ｉ逡逑ＩＩＭ１：邋Ａ逡逑ｉ＾ＪＯ逦－逦＊逡逑（ａ）逦（ｂ）逦（ｃ）逡逑图４－１方程（４．１）在参数条件ｎ邋＝邋４，邋ａ邋＝邋６邋＝邋ｃ邋＝邋ｄ邋＝邋１，Ｐ0邋＝邋１，Ｐｉ邋＝邋１，巧＝２下所对应的逡逑怪波解的图像，其中（ａ）：立体ｆｆｉ；邋（ｂ）俯视图；（ｃ）怪解沿￥轴的波传播形式．逡逑Ｆｉｇｕｒｅ邋“１邋Ｔｈｅ邋ｐｏｗｅｒ邋ｓｅｒｉｅｓ邋ｓｏｌｕｔｉｏｎ邋（４．３７）邋ｆｏｒ邋Ｅｑ．（４．１）邋ｂｙ邋ｃｈｏｏｓｉｎｇ邋ｓｕｉｔａｂｌｅ邋ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ：邋ｎ邋＝逡逑Ａ＾ａ邋＝邋ｂ邋＝邋ｃ邋＝邋ｄ＝邋ｌ＾Ｐ０邋＝邋ｌ＾Ｐｉ邋＝邋１，邋Ｐ２邋—邋２．邋（ａ）邋Ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅ邋ｖｉｅｗ邋ｏｆ邋ｔｈｅ邋ｒｅａｌ邋ｐａｒｔ邋ｏｆ邋ｔｈｅ邋ｗａｖｅ，逡逑（ｂ）邋Ｔｈｅ邋ｏｖｅｒｈｅａｄ邋ｖｉｅｗ邋ｏｆ邋ｔｈｅ邋ｗａｖｅ，邋（ｃ）邋Ｔｈｅ邋ｗａｖｅ邋ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ邋ｐａｔｔｅｒｎ邋ｏｆ邋ｔｈｅ邋ｗａｖｅ邋ａｌｏｎｇ邋ｔｈｅ邋ｘ邋ａｘｉｓ．逡逑４５邋守恒率（Ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ邋Ｌａｗｓ）逡逑在这节中，根据文献［６８］和李点对称（４．１０），下面将要严格的构造方程（４．１）逡逑的守恒率．想进一步了解，４w查阅文献［６８］和本文作者的相关；Ｃ作［７７－７９］．逡逑向量Ｃ１邋＝邋（；Ｃｆ

波解,幂级数解,俯视图,方程

【参考文献】